Rectification de Phyperbole

Pour rectifier l'arc BD, flg. 10 :

!• On construira, comme ci-des^s, les droites FB', Fiy pa-

rallèles aux normales des points B et D, et Ton mesurera l'angle B'FD' avec un bon rapporteur ;

2" L'arc que l'on veut rectifier étant très-aplati, il suflSra de le remplacer par deux arcs de cercle ; •

3** La normale parallèle au rayon F-9', qui contient le milieu de l'arc B'D', déterminera le point 9 sur Tare d'hyperbole BD, «t, par suite, les deux arcs B-9, 9-D, que l'on peut considérer -comme semblables à chacune des parties égales de B'O';

4° On tracera les cordes B-9, 9-D, et Ton fera leur somme ,

5^ Cela étant fait, supposons que dans le cas actuel l'angle fi'FD' soit égal à 9<'44', on aura >

^t le coefficient

^60sin. i « ~ 360 sin. (2»-26' 2 1 600 sin. (2'>-26') ~ '"""*'"' • 440. Remarque. Le peu de différence qui existe dans les

TTa

•exemples précédents, entre l'unité et le coefficient — ^ . , ^ ^ , 360sm. T a .

fera comprendre pourquoi, dans la pratique, on pourra presque toujours négliger la multiplication par ce facteur et se contenter, comme je l'ai dit au n*» 414, de rectifier le polygone inscrit.

Admettons cependant le cas où l'on aurait besoin d'une grande exactitude, et cherchons quelles espèces d'erreurs pourront aflecter le résultat obtenu par la méthode qui vient à'être exposée.

TTOt

Le coefficient numérique r-r-^ — ;— pouvant être calculé

par les logarithmes avec une grande précision, il ne peut exister d'erreur que dans la valeur de a ou dans le contour Au polygone inscrit. .

Or l'angle formé par les normales extrêmes sera souvent 4onné par la question, et, dans le cas dontraire, nous avons va comment cet angle peut être mesuré très-exaclemeat, même avec un rapporteur médiocre.

222 RECTÏPCCATION ' PL. 44.

Il ne reste donc plus qu'à rechercher quel peut être l'effet d'une erreur dans la position de l'un des points qui partagent la courbe donnée en arcs semblables.

Pour cela, supposons, flg. 6, que MO et ON soient deux arcs consécutifs de la courbe cherchée ; si Ton prend le point 0' au lieu de prendre le point 0, la corde MO' sera, il est vrai, un peu trop longue, mais la corde O'N sera trop courte, et l'une des erreurs détruira l'autre.

, Pour^ reconnaître jusqu'à quel point il y aura compensation entre ces deux erreurs, concevons Tellipse VD qui passerait par le point 0 et qui aurait pour foyer les points M et N.

La somme des rayons vecteurs de cette ellipse sera toujours égale à MO + ON, quel que soit le point de cette courbe que l'on aura choisi.

Or la normale du point 0 de l'ellipse VU partage l'angle MON formé par les rayons vecteurs en deux parties égales. Mais les deux arcs de cercle MIO, OKN, qui, dans le voisinage du 'point 0, coïncident avec la courbe donnée, étant semblables, les triangles isocèles MHO, 06N le sont également; les angles MOH'et HON sont égaux, et la droite OH normale de la courbe à deux centres MON coïncide avec la normale au point 0 de Tellipse VO ; de sorte que Tellipse VD et la courbe MON se touchent au point 0, puisqu'elles ont à ce point la même normale OG, et par conséquent la même tangente.

Or, si par un faux mouvement du compas ou de l'équerre il y a une petite erreur dans la position du point déterminé sur la courbe donnée, il est certain, et cela est certain pour toute personne familiarisée avec les opérations graphiques, que l'erreur 00' ne s'étendra jamais jusqu'à Tendroit où les deux cburbes tangentes se séparent sensiblement Tune de l'autre; et le point 0' de la. courbe MON pouvant toujours être considéré comme appartenant à l'ellipse VU, on aura la somme des deux cordes MO' + O'N = MO + ON ; de sorte que le contour du polygone ou de la portion de polygone inscrit dans la courbe donnée différera extrêmement peu de ce que l'on obtiendrait si le point .0 était parfaitement déterminé sur cette courbe.

PL. 44. DBS i::(>VfftfrËS. « 223

441. Le raisonnement qui précède suppose que les rayons de courbure des deux arcs MO et ON sont de même signe; car' s'il en était autrement, fig. 5, et s'il existait un point d'inflexion au point 0, la petite partie de courbe qui est voisine de ce point ne se confondrait plus avec un arc de Tellipse qui aurait les points M et N pour foyer.

Pour apprécier approximativement l'erreur qui aurait lieu dans ce cas, concevons (fig. 12) la courbe MON composée des deux arcs semblables MO, ON, et supposons que pour mesurer les cordes, on ait placé la pointe du compas en O' au lieu de la placer en 0 ; laissons faire à Tare ON une demirévolution autour de la sécante OO'K ; le point N viendra se placer en N'. Mais on pourra toujours concevoir une ellipse VOO'O, qui aurait pour foyer les points M et N'4 et qui coïnciderait avec Tare extrêmement petit 00' ; de sorte que Ton aurait :