MO + ON' = MO' + O'N
Or les triangles OKN, OKN' étant égaux, ofl aura (2). - ON=:ON';
les triangles égaux O'KN, O'KN' donneront (3) OW = 0'N. •
Ajoutant les équations (1), (2) et (3), et réduisant, on aura
MO + ON = MO'-fO'N;
d'où il résulte que la petite erreur 00' ne changera pas la somme des deux cordes.
442. Quadratures. La décomposition d'une courbe en arcs de cercle semblables entre eux pourra servir également pour résoudre le problème des quadratures.
En effet, supposons, flg. 4, que l'on veut calculer la surface comprise entre la courbe BD, l'ordonnée Bb du point B, l'ordonnée M du point D, et la droite bd. 11 est éviclent qu'il suffira de calculer le polygone ftB-5-6-D6, et d'y ajouter la somme des segments compris entre les côtés de ce polygone et les arcs de cercle par lesquels on aura remplacé la courbe donnée BD.
Or la surface du polygone pourra facilement être obtenue par la décomposition en triangles ou en trapèzes, et p^r conséquent il ne restera plus qu'à obtenir la surface des segments.
Les arcs de cercle B-5, 5-6, 6-D par lesquels on remplace les parties de la courbe donnée étant toujours d'un petit nombre de degrés, on pourra, comme cela se fait à chaque instant dans là pratique, considérer chacun des segments compris entre la corde et la portion de courbe correspondante comme un segment de parabole^ dont la surface est égale aux deux tiers du rectangle circonscrit.
Or, si nous exprimons, flg. 1 , la corde MN par c, et la flèche Kl par w, la surface s du segment MKNI sera
(1) ' 5=?MNxKI = |cw.
Mais si l'on trace la corde MK, le triangle MIK rectangle en I donnera Kl = 1h1 x tang KMI, ou
2) ii = ^tang-;
KN a
car l'angle KMI a pour mesure -Tr-= 7 .
Ainsi, en portant la valeur de u dans l'équation (1), on aura /
.= Xu = .3X2tang- = 3tang-.
Cela étant admis, revenons à la figure 4, désignons les cordes B-5, 5-6 et 6-D parc, c\&' et les surfaces des segments* correspondants par s, 5' et 5'^, nous aurons :
*=-tang;5
.// = ytang-.
Et, si nous exprimons par S la sopime des segments, nous jurons :
PL. 44. DBS COURBES. 225
Le facteur polynôme c' + c'* + ^'^^ P^ut facilement être réduit à un monôme par une opération graphique. En effet, on tracera :
;io La droite 6^'-5''' égale à la corde 6-5 et perpendiculaire
2o L'hypoténuse D''-5'/' du triangle rectangle D''-6''-5'"; 3* La droite 5'"-B'" égale à la corde 5-B et perpendiculaire sur r.5'''.
Le carré du nombre qui exprimera la longueur de B'^'-D'^
sera égal à c* + c'^ + c'^*. ^ En effet, le triangle rectangle D''-6^'-5'" donne
(D'^-5"0' = (D^'.6"0' + (^'-yy ' ' ou ^
mais le triangle D^'-5"^-B'" étant rectangle en 5'", on aura
(D'^'-B'")* = (D'^.5'")^ + (5'"-B''0* ou
{2) (iy'-B''7 = (D''-5"0' +(f;
Ajoutant les équations (1) et (2), on.pbtient
Ainsi la formule précédente devient •
g^tan|^^^P„g,„^,
Et si Ton ajoute cette quantité avec la surface du polygone AB-5-6-D6, on aura obtenu avec une grande exactitude la surface comprise entre l'arc BD, les ordonnées B6, M et la droite bd.
