CHAPITRE IL

Surface* cylindriques*

446. Nous avons, dans les livres précédents, résolu les questions principales qui dépendent du plan. Nous allons étudier actuellement les propriétés des surfaces courbes.

Si Ton jette un coup d'œil sur les différents produits de, rindustrie, les formes des corps terminés par des surfaces courbes paraissent variées d'un si grand nombre de manières, qu'il semble au premier abord difficile de reconnaître les propriétés particulières à chaque espèce.

Mais, en procédant avec méthode, on peut facilement déduire toutes ces propriétés d'un. petit nombre de principes généraux.

447. La première et la plus essentielle des surfaces courbes que nous allons étudier est celle à laquelle on donne le nom de cylindre.

Il ne faut pas attacher à ce mot le même sens que dans la géométrie élémentaire ; en effet, dans cette partie des mathématiques, un cylindre, tLg. 226, pi. 45, est un corps solide, engendré par un rectangle acvu, que Ton ferait tourner autour de ses côtés ac, tandis que, dans la géométrie descriptive, on donne le nom de cylindre, fig. 224, à la surface engendrée par une droite ac qui se meut parallèlement à' elle-même, quelles que soient, du reste, les conditions qui déterminent le mouvement de cette droite, que l'on nomme la génératrice du cylindre.

448. On peut toujours supposer que la génératrice est assujettie à s'appuyer constamment sur une courbe quelconque du, que l'on nomme la directrice du cylindre.

449. Ainsi la nature du cylindre dépendra principalement de la forme de sa directrice, et Ton conçoit que si cette courbe élait remplacée par une ligne droite, le cylindre deviendrait un plan ; ce qui autorise à considérer le plan comme un cas particulier parmi les surfaces cylindriques.

Cette analogie entre le plan et le cylindre est une des relations qui nous seront le plus utiles. C'est pourquoi je vais lâcher de mettre en évidence les propriétés communes à ces deux surfaces.

Si nous supposons que Ton conserve comme constante la génératrice ac d'un cylindre, flg. 225, mais que l'on augmente graduellement le rayon de courbure de la directrice du, cette courbe deviendra successivement d'u\ d''u'' ; et lorsque le rayon de courbure sera infini, la directrice prinii-* tive se transformera en une droite d'"v!'\ et la surface cylin- . drique en un plan pu'" .

Si l'on change le sens de courbure de la directrice, on obtiendra le cylindre d^^'xf .

Tous ces différents cylindres se touchent et sont touchés par le plan p^t''^ suivant la génératrice commune ao.

C'est pourquoi nous donnerons dès à présent au plan pu'" le nom de flari, tangent.

450. Il semblerait résulter de ce que nous venons-de dire qu'un plan tangent.à m* rylindre ne doit avoir qu'une droite commune avec cette surface.

Cette définition du plan langent ne serait pas exacte pour plusieurs raisons.

D'abord, Ija directrice d'un cylindre pouvant avoir un grand nombre de sinuosités, un plan qui toucherait ce cylindre suivant une génératrice âc, fig. 227, pourrait encore le couper suivant d'antres droites a'c\ ' .,

Ensuite^ la condition de n'avoir qu'une droite commune avec un cylindre pourrait tout aussi bien convenir à un plan coupant fq, fig. 229.

Il faut donc tâcher de trouver, p^our le plan tangent au cylindre, une définition plus complèteT

Supposons, flg. 228, que le cylindre A soit coupé par un plan pq paralfèle à sa direction, la section se composera des deux génératrices ac^ a'&.

Or, si nous faisons tourner le plan pq autour de a'c', la droite ac se rapprochera de a^c' sans cesser de lui être parallèle ; et lorsque les deux génératrices ac, a'd seront réunies en une seule, le plan pg^ sera devenu pVi et, dans cette nouvelle position, il sera langent au cylindre.

Nous serons donc conduits à dire qu'un'plan tangent à un cylindre est celui qui contient deux génératrices réunies en une seule^ ou, ce qui est la même chose, deux génératrices dont la distance est nulle.

451. Au lieu de faire tourner le plan pq autour de la génératrice aV, on aurait pu le faire mouvoir parallèlement à lui-même- ou de toute autre manière, mais on serait toujours arrivé à cette conséquence que le plan deviendra tangent aussitôt que les deux lignes de section ac, a'd seront réunies en une seule.

452. Il semblerait, au premier abord, qu'au moment où ces deux génératrices' sont rSunies, on doit les considérer comme n'en faisant qu'une. Il est vrai que les deux droites qui se sont ainsi rapprochées n'occupent pas plus de place qu'une seule ; mais cependant il est très-essentiel de distinguer une génératrice simple ou une génératrice de section, telle que ac, flg.,229, d'une génératrice delangence que Ton pourra nommer génératrice rfoui»/e. puisque l'on peut toujours supposer qu'elle résulte 4lu rapprochement de deux génératrices de section, et l'on devra se rappeler qu'il existe entre ces deux lignes cette diflférence très -grande, que la génératrice de section ne suflSt pas pour déterminer la direction du plan coupant, qui, tournant autour de cette droite, peut prendre une infinité de positions différentes, figr, 229, tandis que la position du plan langent p'q', flg. 228, sera déterminée par la génératrice de langence aV, puisqu'il ne

pourrait pas tourner autour de cette ligne sans devenir un plan coupant, ce qui d^oubleraitaussitôt la génératrice de tangence et la décomposerait en deux génératrices de section a'c\ a"d\ qui s'écarteraient l'une de l'autre à mesure que le plan se rapprocherait de la position pj.

463. On peut encore être conduit aux conséquences précédentes en supposant que le cylindre soit coupé par un plan . quelconque pq, fig. 230, que Ton ferait ensuite tourner autour d'une droite mn tangente à la courbe de section ac, cette courte deviendrait alors successivement ac\ c"a(^, en s'allongeant toujours à mesure que le plan se rapprocherait de Ja direction du cylindre, et lorsqu'il aurait atteint cette direction, les deux branches de la courbe seraient réunies en une seule et formeraient alors la- génératrice d§ tangence

Enfin, on peut encore supposer que le cylindre est un prisme dont le nombre des faces serait infini.

Dans cette dernière hypothèse, fig. 231, le plan tangent sera le prolongement de Tune des faces du prisme, et la largeur de cette face devant être considérée comme nulle, les deux arêtes ce, dd infiniment rapprochées formeront la génératrice de tangence.

454. Concevons, fig. 232, une courbe quelconque aa'm située sur le cylindre A, et joignons par une sécante les deux points a et a', suivant lesquels cette courbe serait coupée par un plan quelconque pq parallèle au cylindre. Si nous faisions tourner le plan f'q pour le ramener dans la position pV> 1^ point a se rapprochera du point a', et ^lorsque le plan p'q\ sera tangent, les dejnx points a et a* seront réunis ; la droite aa' aura pris la position mn et sera située dans le plan

tangent pV* Ainsi j le plan tangent ip'q' contiendra la droite mn

tangente au point a' à une courbe quelconque i\\,\Mk^ sur la

surface du cylindre ; de sorte que la construction du plan

langent se réduit à faire passer un plan par les deux droites

La courbe aa'm pouvant être prise arbitrairement, il en

résulte que le plan tangent au cylindre contient toutes les droites qui toucheraient la surface en un point quelconque de la ligne de/. ^

455. Gytindre projetant. Courbes à do^le courbnre. La première application que nous ferons des surfaces cylindriques aura pour but de déterminer les projections des lignes courbes.

Soit ABCD, fig. 233, pi. 46, une courbe quelconque située dans l'espace. Si de chaque point de cette ligne on abaisse une perpendiculaire sur le plan de projection P, la courbe ahod, qui contient les pieds de toutes ces perpendiculaires, sera la projection de la courbe.

La surface qui contient toutes les perpendiculaires, Aa, B6, •Ce, etc., se nomme cylindre projetant. La ligne abcd^ trace du cylindre projetant, est la projection de la courbe ABCD.

Dne seule projection ne suffit pas. pour déterminer une courbey dans Tespace, car il est évident que la ligne abcd serait fa projection commune à toutes les lignes courbes tracées sur la même surface projetante.

456. Il résulte de ce que nous venons de dire, que pour déterminer la grandeur et la position d'une ligne courbe dans l'espace, il f^ut la projeter sur deux plans, car alors chacun de ses points étant déterminé de position, la courbe elle-même sera déterminée.

457. La projection verticale d'une courbe est la ligne qui passe par les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées des différents points de cette courbe sur le plan vertical, et la projection horizontale est la ligne qui contient les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées sur le plan horizontal.

458. Soit, fig. 324, a'b'&d'effg'WVK la projection verticale d'une courbe quelconque, et abcdefghik sa projection horizontale, il est évident que la courbe sera déterminée -dans l'espace, car devant être eu même temps sur les deux

cylindres projetants dont les lignes données sont les traces^ elle sera l'intersection de ces deux surfaces et participera de la courbure de chacune d'elles. "

C'est pour cette dernière raison que Ton donne à ces courbes en général le nom de courbes à double courbure.