Si Ton partage la projection verticale a'Vc'd/ en

un assez grand^nombre de parties pour que Ton puisse sans erreur sensible considérer chacune d'elles comme une ligne droite ; si on porte tous ces petits arcs à la suite les uns des

autres, comme on le voit, flgr. 235, la ligne a'Vd &V,

que Ton obtiendra, sera la rectification de la projection verticale de la courbe.

Supposons actuellement que par chacun des points a\ 6', d^ on élève sur la droite que l'on vient d'obtenir une perpendiculaire égale à là distance du point correspondant de la courbe donnée au plan vertical de projection, et qu,e par les

extrémités A, B, C, K, A, de ces perpendiculaires on fasse

passer une courbe, on aura le développement.de la surface projetante perpendiculaire au plan vertical.

La courbe ABCD KA représente ce que devient la courbe

donnée dans le développement du cylindre projetant perpendiculaire au plan vertical.

On aurait pu de la même manière développer le cylindre perpendiculaire au plan horizontal.

460. Prenant les arcs AK, Kl, IH, etc., et portant leur longueur en ligne droite et à la suite les uns des autres, fig. 236, on obtiendra la courbe donnée dans sa véritable longueur. C'est ce qu'on appelle rectifier une courbé à double courbure,

461. Si l'on voulait obtenir les projections des pointa qui, à partir du point A, partageraient la courbe donnée en trois parties égales, on partagerait la ligne droite AA ; ce qui donnerait deux points N, N, que l'on reporterait d'abord dan& le développement, fig. 235, d'où Ton déduirait facilement les points m', n\ qui, reportés eux-mêmes sur la projection^

verticale de la courbe, donneraieQt les projections horizontales rriyn.

On emploierait le môme moyen pour partager une.courbe quelconque en tout autre nombre de parties égales ou ayant entre elles des rapports donnés.

462. On nomme trace d'une courbe les points où cette courbe perce les plans de projection.

• Soit (a, a'), flg. 237, une courbé donnée. Le point {h, h'} ayant sa projection verticale sur la ligné AZ, appartient au plan horizontal, et représente la trace horizontale de la courbe. Le point (v, vO> dortt la projection horizontale est sur la ligne AZ, sera la trace verticale.

Il est facile de reconnaître que {c, &) est le point où la courbe perce le plan horizontal p, et [d, d') celui où elle perce le plan vertical p'.

463. Trouver Vintersection d'une courbe (a, a') Mec un plan quelconque.

Concevons par celte courbe le cylindre projetant perpendi- < culaire au plan horizontal, et cherchons la ligne (6, b) qui provient de Tintersection de cette surface par le plan donné p'^. Le point (m, m'), où les lignes a' et b' se rencontrent, est le point demandé.

Pour obtenir là ligne b\ il suJQSt de construire les points où le plan p" est percé par chacune des verticales q, q\ q", génératrices du cylindre vertical qui a pour directrice la courbe a.

On aurait pu tout aussi bien faire usage du cylindre projetant perpendiculaire au plan vertical.

La seule différence qu'il y ait entre ce problème et celui de Tintersection d'une droite avec un plan que nous avons résolu (87), c'est qu'alors la surface projetante de la ligne donnée était un plan perpendiculaire au plan de projection.

464. Construire une tangente à une courbe quelconque. Nous avons dit (310) qu'une tangente à uûe courbe quelconque devait être considérée comme le prolongement d'un

234 suRrACES PL. 46.

arc inflniraent petit de ceLle courbe; on conçoit, en effet, qu'une ligne droite qui n'aurait qu'un point de commun avec une courbe ne serait pas pour cela une tangente à cette courbe. Ainsi, une ligne droite oblique ou perpendiculaire au plan d'un cercle et qui passerait par un point de sa circonférence n'aurait qu'un point de commun ^vec ce cercle, et cependant ce ne serait pas une^ tangente, parce qu'elle ne serait pas dans le plan de la courbe.

Une ligne qui n'aurait qu'urj point de commun avec une courbe à double courbure quelconque ne serait pas non plus une tangente à cette courbe ; il faut encore, pour que Ton puisse la considérer comme tellç, qu'elle soit située dans le planosculateur(314) qui contient l'arc infiniment petit dont elle est en quelque sorte le prolongement.

Nous avons dit (454) que le plan tangent à un cylindre contient les tangentes à toutes les courbes qui passent par le point de tangence sur la surffice du cylindre.

De là Résulte le moyen de construire une tangente à une courbe à double courbure.

Soient (a, a'), flg. 238, les deux projections de cette courbe, le point de tangence (m, w') étant donné.

Concevons par le point nV une tangente à la projection verticale de la courbe, on pourra considérer cette tangente comme la trace d'un plan p perpendiculaire au plan vertical et tangent au cylindre projetant horizontal. Or, d'après ce que nous venons de diro, cç plan doit contenir la tangente à la courbe ; de plus, cette tangente doit être située dans le plan p\ «tangent à la surface projetante perpendiculaire au plan horizontal. Donc la tangente cherchée devant faire partie des deux plans p eip\ sera leur intersection, d'où l'on voit que

465. Pour construire une tamjente en un point donné d'une courbe quelconque^ il suffit de construire par les projections du point donnée deux tangentes aux projections de

la courbe. Ces lignes seront les projections de la tangente à la courbe,