Construction de la normale. Je dirai de la normale

ce que je viens ie dire de la tangente. Toute ligne droite passant par le point de tangence et perpendiculaire à la tangente n'est pas nécessairement une normale. Il faut encore pour cela qu'elle soit dans le plan de la courbe, si cette courbe est plane, ou dans le plan osculateur, s'il s'agit d'une courbe, à double courbure. Donc, si l'on veut obtenir la normale au point (m y m') de la courbe à double courbure (a, a'), flg. 238, on choisira deux autres points (n, n') (w, u^) sur la courbe et à peu de distance du point donné (m, m') ; puis après avoir construit les trois tangentes [vu.v'u^), (sm^ s'm'), [ouy o'n'), on déterminera les points v, s, o, où ces tangentes percent le plan horizontal, et Ton fera passer une courbe par ces points. Or, il est évident que si les trois points [uu'), {mm'), {nn'), étaient infiniment près l'un de Tautre, les trois tangentes pourraient être considérées comme dans un même plan qui serait le plan osculateur, et la ligne vso serait droite et se confondrait avec sa tangente sz. Donc, en construisant cette tangente, on pourra la regarder comme la trace du plan oscu- " v laleur en (mm').

Faisant tourner ce plan autour de sa tracé sz pour le ra battre sur le^plan horizontal de projection, le point de tan- gence [mm') viendra se placer en m". La tangente sera représentée dans le rabattement par sm". On lui mènera la perpendiculaire m"z qui sera la normale rabattue sur le plan horizontal. En faisant revenir le plan osculateur à sa place, le point '{zz') ne bougera pas, et les deux projections de la normale seront (zm, z'm') .

467. Courbes planes inclinées par rapport aux plans de projection. Dans tout ce que nous venons ,de dire sur la prpjection des courbes, nous avons supposé, pour plus de généralité, qu'il s'agissait d'une courbe à double courbure ; mais si la courbe était plauQ, et qu'on le sût d'avance, on pourrait souvent rendre les constructions plus simples en prenant, flg. 239, l'un des plans de projection perpendiculaire au plan de la courbe. Au moyen de cette précaution, Tune dès projections de la courbe se confond avec la trace du plan qui la contient, et qui, daïis ce cas, devient l'une des surfaces projetantes. Ainsi, le plan de la courbe {abCy a'b'c') étant perpen-

diculaire au plan horizontal, sa projectien* sur ce plan ?era la droite ac.

Si Ton voulait avoir la courbe dans sa véritable grandeur, on ferait tourner le plan qui la contient autour de sa trace verticale, et Ton obtiendrait a"h"c". Les droites (d&, dV) sont la projection verticale et le rabattement d'une tangente dont la projection horizontale se confondrait avec celle de la courbe.

468. Les deux projections d'une courbe étant donnéeSy reconnaître si cette courbe est plané.

il est évident que toute courbe qui se projette en ligne droite est nécessairement une courbe plane.

Prenant sur la courbe, flg. 240, deux points {aa\ oo') situés, pour plus de simplicité, sur une même droite horizontale, et construisant le plan vertical p perpendiculaire sur cette horizontale, on cherchera la projection de la courbe sur ce plan ; si cette projection est une ligne droite, on pourra en conclure que la courbe est plane ; car il est évident que toute courbe qui se projette par une ligne droite est nécessairement située dans le plan projetant dont cette ligne est la trace.

11 est bien entendu que cette manière de reconnaître si une courbe est plane n'esit pas rigoureusement exacte, et qu'elle ne doit être employée que dans le cas où l'on serait privé de moyens plus rigoureux résultant de la définition géométrique de la courbe donnée.

Je terminerai ce sujet par l'étude des propriétés de Tune des courbes les plus utiles que Ton puisse tracer sur un cylindre.

489. Hélices. Lorsqu'une courbe coupe toutes les génératrices d*un cylindre suivant le même angle, on lui donne le nom d! hélice.

On peut dire encore que l'hélice est engendrée par un point qui s'éloigne à chaque instant d'un plan perpendiculaire au cylindre d'une quantité proportionnelle à Tare parcouru par sa projection sur ce plan.

Ainsi, par exemple, si nous supposons ()ue le cylindre A,

flg. 241, pi. 47, soit perpendiculaire au plan horizontal, rhélice a'um serait engendrée par le point aa' qui s'élèverait 4 chaque instant d'ftne quantité proportionnelle à Tare de cercle parcouru par la projection horizontale a.

470. La distance aV entre deux intersections successives de la courbe avec la même génératrice se nomme le pa-'i de Chélice, et la portion de courbe correspondante à une révolution entière se nomme une spire.

471. La section droite du cylindre est une hélice dont le pas est égal à zéro.

472. Les hélices se distinguent par la nature de la section droite du cylindre sur lequel elles sont tracées. Lorsque cette section est un cercle, on dit que l'hélice est à base circulaire.

473. Construction de Vhélice. Supposons que la circonférence a-4-14 soit la base ou projection horizontale d'une hélice dont le pas serait a* a" ; on partagera cette droite et la circonférence a-4-t4 en un même nombre de parties égales, en 16 par exemple ; on tracera ensuite une horizontale par chacun des points de division de la verticale a'a". ,

Si l'on suppose actuellement que le point générateur, partant de aa\ tourne dans le sens de Tare i-2-3, etc., il est évident que lorsqu'il sera parvenu sur la verticale du point 1^ il sera élevé, au-dessus du plan horizontal, d'une quantité égale à la seizième partie du pas, et sa projection verticale devra, par conséquent, se trouver sur la première horizontale au-dessus de la ligne AZ:

Lorsque le point générateur sera parvenu sur la verticale du point 2, sa [«rojection verticale sera élevée de 2 seizièmes du pas, et sera sur la deuxième horizonftile, etc.

De sorte que tous les points de la projection verticale de la courbe seront déterminés par les intersections des verticales élevées par les 16 points de division de la circonférence a-4-14 avec les horizontales passant par les 16 points de division de la verticale a V^ - • '

• 474. Il résulte de la définition que nous avons donnée au n^ 469 que, dans le développement du cylindre qui contient l'hélice, cette courbe se transforme toujours en une ligne droite.

La figure 242 est le développement de la moitié du cylindre A.

475. On peut se servir avec avantage de ce développement pour construire la projection de la courbe. En effet, si le pas de l'hélice était peu considérable, il serait difficile de partager avec beaucoup d'exactitude la verticale a'a'^ Dans ce cas, on commencerait par construire l'oblique a'V que l'on partagerait en 8 parties égales, et les points de division de l'hélice seraient alors déterminés par les intersections des verticales élevées par les points de division de la circonférence a-4-14 avec les horizontales passant par les points de l'oblique a'V.

^76. Lorsqu'on prend ainsi une oblique pour échelle de hauteur, il n'est pas nécessaire que la droite a*V soit égale au développement de la circonférence a-4-14. Il suffit que la verticale aV ,soit égale à la hauteur de la partie de l'hélice que l'on veijt projeter. De sorte que si nous avions fait a^à"^ égal à aV^ les seize parties égales de l'oblique a^'a"'^ auraient déterminé les hauteurs des seize points correspondants de la première spire.

477. Lorsqu'une hélice se' compose d'un très-grand nombre de spires, on peut construire avec beaucoup de soin, flgr. 246, la projection de Tune de ces courbes sur une carte que l'on découpera, et qui, étant reportée à toutes les hauteurs, servira pour iguider 1^ crayon .

On pourra, se contenter de la, moitié d'une spire, parce que le même profil étant retourné servira pour construire les parties vues et celles qui sont cachées.

Enfin, lorsque l'on Veut tracer un arc d'hélice sur un cylindre, il suffit de déterminer, flg. 247, deux points m et n de la courbe demandée ; après quoi il sera facile de la tracef

avec une règle flexible à laquelle on fera prendre la courbure du cylindre.

Quoique deux points suffisent, dans ce cas, pour déterminer la courbe, on fera bien cependant de tracer sur le cylindre un ou deux points fntermédiaires pour servir comme vérificatiion.

478. 11 arrivera souvent par la suite que Ton ait à tracer sur un même cylindre, flg. 241, plusieurs hélices de même pas, mais situées à des hauteurs différentes. Dans ce cas, il ne sera pas nécessaire d'établir sur la projection du cylindre de nouvelles horizontales, ce qui ferait confusion. 11 sera préférable de porter avec le compas, sur la vertiôale projetante, de chaque point, la différence de hauteur entre la première hélice et celle que Ton veut H)btenir.

479. Si Ton veut construire pliisieucs hélices de même pas et à la même hauteur sur des cylindres concentriques» flg. 243, on relèvera les points sur les horizontales correspondantes.

480. Tangentes à l'hélice. On sait que, dans le voisinage du point de tangence, une courbe se confond toujours avec sa tangente. De plus, l'hélice devant se développer en ligne droite, elle devra, dans le développement du cylindre, continuer à se confondre afec sa tangente.

D'où il résulte que la tangente coïncidant avec la courbe développée doit être l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont la hauteur est à la base comme le pas de l'hélice est au développement de la circonférence du cercle qui en forme la projection, ou, ce qui est la même chose, comme un certain nombre de parties égales du pas est à un pareil nombre de parties égales de la circonférence de la base.

481. Supposons donc que l'on veuille constrifire une tangente au point 14' de Thélice a'a"', flg. 241, on construira ' d'abord la tangente 14-m.

Celte droite sera Ja trace horizontale du plan tangent au cylindre qui contient l'hélice, de sorte que si on fait 14-m

^0 ' SUBFAGES PL. 47.

égal à iV de la circonférence, et que 14'-u soit égal à -n- du pas, de l'hélice, la verticale mm' déterminera le point m', et l'hypoténuse W-mf sera la projection verticale de la tangente au point 14'.

sur la flgure 246, a'm' est la tangente au point aa' \ a'u est égal à 4 du pas, et l'horizontale um vaut -r de la circonférence de la base.

482. IJ résulte de ce qui précède qu'il n'est pas nécessaire que la courbe soit tracée, pour que Ton puisse construire sa tangente.

483. Si Ton prévoit le cas où il serait nécessaire de construire un grand nombre de tangontes à une même hélice, on pourra construire, flg. 244, la courbe a-9-12', qui est la développante de la circonférence du cercle aAO'&^ (323). Cette courbe contiendra les traces horizontales de toutes les tangentes à Thélice.

De sorte que, pour construire Tune quelconque de Ces tangentes, celle, par exemple, qui toucherait l'hélice au point iO"^

On tracera :

lo La droite 10-10', perpendiculaire au rayon c-10, et qui sera par conséquent la projection horizontale de la tangente demandée ;

2° La verticale 10'- 10'', i^ui déterminera le point 10" sur la ligne AZ ;

3o La droite 10"-10"', qui touchera l'hélice au point IQ'".

484. La même courbe pourra servir à construire les tangentes à toute autre hélice du même pas, et qui serait située sur un cylindre d'un rayon plus petit ou plus grand.

Ainsi, par exemple, pour construire la tangente au point 13'", On tracera :

l^ ^a tangente 13-13' parallèle à 10-10' ; 2° La droite c-10' qui déterminera le point 13' ; 3*» La verticale 13-13"; 4*» Enfin, la tangente demandée 13"-13"'.

9L. 48. CYLINDRIOUES. 241

En effet, les deux tangentes 10-10', 13-13' sont entre elles comme les rayons c-10, c-13. Or, la droite 10-10' étant le développement de l'arc ac^'-lO, il s'ensuit que 13-13' sera le développement de l'arc a'c'- 13 : ce qui s'accorde avec ce que nous avons dit au n« 480.

On remarquera encore que Ton peut avoir

Or, si oii ne prend que les rapports extrêmes, on aura

0"'-13'" : 0'"-10'" =^ 0''-lS'' : 0"-10".

Donc les horizontales 0''-10'\ 0'"-10"' étant coupées en parties proportionnelles par les deux tangentes lO'^-IO'", 13"-13'". Ces lignes doivent-se rencontrer sur le prolongement de l'axe commun aux deux cylindres.

485. Prodection du cylindre oblique. Dans les articles précédents, nous avons considéré les cylindres comme surfaces projetantes, nous allons actuellement étudier ces sortes de surfaces sous un point de vue plus général.

Une surface cylindrique est déterminée lorsque l'on connaît les projections de la directrice et celles d'une génératrice ou d'une droite quelconque qui lui serait parallèle. . Supposons, par exemple, que les deux courbes 1-3-5-7, fkg. 248, pi. 48, soient les deux projections de la directrice d'une surface cylindrique. On prendra sur cette ligne un certain nombre de points, et les droites menées par ces points, parallèlement à la direction donnée ac, a'c\ seront les génératrices de la surface proposée.

Dans les questions composées, il est souvent nécessaire de construire un grand nombre de génératrices, et, dans ce cas, pour plus d'ordre dans le travail, on les distingue par des numéros.

Il ne faut pas cependant^construire de suite et sans nécessité un trop grand nombre de génératrices. Il n'est pas nécessaire, par exemple, que ces lignes soient aussi plus rapprochées les unes des autres dans les parties où la surface a peu de courbure; mais on fera bien de tracer au moins au crayon <îelles qui correspondent aux çoints les plus essentiels de la surface.

Ainsi, dans Texemple qui nous occupe, on devra s'attacher surtout à déterminer avec. exactitude :

1^ Les génératrices qui passent par les points 1 et 7, et qui forment les limites de la surface cylindrique ;

2*» La génératrice du point 5 suivant laquelle la surface du cylindre est touchée par un plan vertical. Cette génératrice forme la limite de la projection horizontale du cylindre ;

3« La génératrice du point 2, suivant laquelle la surface serait touchée par un plan perpendiculaire au plan vertical de projection. Cette génératrice forme la limite de la projection verticale du cylindre ;

4° On devra chercher aussi à donner toute l'exactitude possible aux projections du point 3, suivant lequel la directrice du cylindre est touchée par un plan perpendiculaire à la ligne AZ.

486. On pourra simplifier le travail en , choisissanl de préférence les génératrices qui auraient une projection commune.

Ainsi, par exemple, la projection verticale de la génératrice qui contient le point 1 servira en même temps pour celle qui contient le point 4, etc.

487. Parties vues et cachées sur les surflaces cylindriques. La nature particulière des surfaces cylindriques que l'on emploie dans l'industrie permettra presque toujours de reconnaître au premier coup dœil quelles sont les parties de ces surfaces qui doivent être vues et celles qui soni cachées ; mais, lorsqu'il y aura incertitude, on pourra opérer de la manière suivante :

Supposons que la surface donnée soit coupée par un plan j)q parallèle au cylindre, et perpendiculaire au plan vertical de projection. On obtiendra pour sections les deux génératrices des points 1 et 4, et la deuxième de ces droites étant plus près du plan vertical que la première, elle sera derrière la partie de la surface qui contient la génératrice du point 1.

Il suflTira souvent d'une ou deux opérations de cette espèce, pour reconnaître toutes les parties vues et cachées.

PL. 48. CYUNDRIQUES. » 243

Nous avons supposé ici que Ton a supprimé toute la partie' de la surface qui est au-dessus de la directrice, et que l'on n*a conservé que ce qui est compris entre cette courbe et fe plan horizontal de projection.

Il résultera de laque toutes les génératrices qui s'appuient sur l'arc 7-5 seront vues sur la projection horizontale depuis cet arc jusqu'à Tare 5-1, à partir duquel elles passent au-, dessous de la surface. -

Les génératrices qui s'appuient sur l'arc 5-1 seront vues entièrement sur la projection horizontale.

Des considérations du même genre feront reconnaître les parties vues et cachées de la projection verticale.

Ainsi, sur cette projection, les génératrices qui s'appuient surrarcl-2 seront vues entièrement, tandis que celles- qui s'appuient sur la courbe 2-4 seront cachées. Enfin, les génératrices qui s'appuient sur l'arc 4-7 seront vueô.

On reconnaît pourquoi il est essentiel, comme nous l'avons dit plus haut, de déterminer avec le plus de précision possible les génératrices des points 2, 5, 7 et l, puisque ces Ugnes forment les hmites des parties vues et cachées sur la projection du cylindre.

La construction exacte de ces points dépend des principes qui ont été exposés aux n^* 343, 344.

488. Quoique nous ^yons supposé la surface terminée dans sa partie supérieure par la courbe 1-5-7, qui lui sert de directrice, il vaudra mieux, en général, admettre que les génératrices d'un cylindre sont infinies, de sorte que toute surface cylindrique sera elle-même infinie, et les parties de ces surfaces termine.es par des lignes, ou composant la limite des corps, ne seront considérées que comme des portions de cylindre.

Si la drectrice est une courbe infinie, le cylindre sera infini suivant ses deux dimensions ; mais si la directrice était une courbe fermée ou terminée par deux points, le cylindre ne serait infini que dans la direction de ses génératrices.