Traces du cylindre. Toute surface cylindrique

étant infinie doit, en général, se prolonger au delà des plans de projection.

Qr, si après avoir construit un assez grand nombre de génératrices, on détermine les traces de chacune de ces lignes, les courbes passant par tous ces points seront les traces du cylindre. Ainsi :

• La courbe l'-5'-7^ est la trace horizontale et la courbe l''-5"-7" est la trace verticale du cylindre donné. , «

490. Nous avons supposé (485), pour plus de généralité,, que la directrice du cylindre était une courbe quelconque ; [liais, dans les applications, on prend presque toujours pour directrice une courbe parallèle à Tun des plans de projection.

Ces sortes de courbes sofit égales et parallèles aux traces, et se construiseiit de la même manière. Ainsi, par exemple, pour obtenir la courbe V^^W"-!'^'^ il suffira de projeter tous les points suivant lesquels le plan horizontal mn coupe les génératrices du cylindre.

491. En prenant pour directrice la trace du cylindre ou une courbe parallèle à celte trace, on n'ôte rien de la généra lité des principes que nous allons exposer.

Il est facile de concevoir, en effet, que la surface du cylindre sera toujours la même tant que la courbe employée comme directrice sera située tout entière dans cette surface et qu'elle sera coupée par toutes les génératrices. Or, les' traces jouissent essentiellement de celte propriété.

Ainsi, quelle que soit la nature d'un cylindre donné, on pourra toujours construire Tune de ses traces ou une section parallèle à cette trace et remplacer la directrice primitive par la section obtenue.

492. Le plan qui toucherait le cylindre suivant la génératrice du point 6, aurait pour trace horizontale la droite p'-6' tangente à la trace horizontale du cylindre, et la. trace verticale p'-6" de ce même plan devra être la tangente à la courbe l"-6"-7'^ qui est la trace verticale du cylindre.

Les droites v^-2", t;'-2^ sont les traces d'un secopd plan qui toucherait le cylindre suivant la génératrice du point 2^

PL. 48. • CYLINDRIQURS. . 245

et qui serait perpendiculaire au plan vertical de projection.

{]es deux plans tangents se coupent suivant une lignes, vV, qui doit être parallèle au cylindre dçnné.

Enfin, les deux droites v^"-6"', 1;'"-2"^ tangentes à la courbe l"^-5"^-7"^ proviennent de l'intersection des deuxplans tangents par le plan horizontal mn.

493. La figure 250 contient les deux projections d' uncylindre dont la directrice est une courbe fermée située dans le plan horizontal. •

494. 11 sera surtout essentiel de déterminer avec beaucoup de soin les points 1, 2^ 3, 4.

Les points 2 et 4 appartiennent aux deux génératrices qui forment les limites de la projection horizontale du cylindre, et les points 1 et 3 sont les pieds des génératrices qui forment les limites de la projection verticale.

Si la directrice est une ellipse, ce qui arrive souvent dans les applications, les points 1, 2, 3, 4 seront déterminés par le principe du n«» 372.

On doit encore remarquer que, sur la projection horizontale, la partie de surface cylindrique qui a pour directrice Tare 2-3-4 sera vue, tandis que celle qui a pour directrice Tare 4-1-2 doit êlre cachée.

Sur la projection verticale^ la partie vue est celle qui a pour directrice la -courbe 1-2-3, et par conséquent la partie qui a pour directrice l'arc 3-4-1 est cachée.

495. Plusieurs simplifications remarquables peuvent résulter de la [ osition du cylindre par rapport aux plans de projection.

Ainsi, flg. 251, lorsque Tun de ces plans sera parallèle au • cylindre, il en résultera cet avantage, que les génératrices seront projetées sur ce plan suivant leurs véritables gran- . deurs.

496. Si l'un des plans de projection élait perpendiculaire au cylindre, flg. 252, chaque génératrice se projetterait sur ce plan 'par un seul point, et la projection du cylindre

se réduirait à sa trace, qui serait en même temps la directrice.

Pour exprimer qu'un point est situé sur la surface du cylindre, on construira la génératrice passant par ce point. Il peut y avoir plusieurs solutions. Ainsi, par exemple, le point m, flg. 250, 251, sera la projection horizontale com-raune à deux points qui auront m' et m" pour leurs projections verticales. ' .

Dans la figure 249, les points mm\ mm", mm'", mm^"^ appartiennent tous tes quatre à la surface d'un cylindre qui aurait pour directrice la courbe ac.