Section droite et développement du cylindre

Si Ton coupe un cylindre par un plan parallèle à ses gêné-' ratrices, on obtient pour section une ligne droite. C'est la manière la plus simple de couper un cylindre. Toute autre section par un plan sera une courbe plane dont la forme dépendra de la nature de la courbe qui aura servi de directrice au cylindre, et de l'inclinaison suivant laquelle il a été coupe ; mais, parmi les sections par un plan, il faut distinguer surtout celle que Ton obtient en coupant le cylindre perpendiculairement aux génératrices. Cette courbe, que nous nommerons la section droite du cylindre, nous servira dans un grand nombre d'applications.

498. Supposons, par exemple, que l'on veuille développer la surface d'un cylindre, flg. 253, pi. 49.

On projettera le cylindre proposé sur un plan parallèle à ses génératrices, afin d'avoir toutes ces lignes projetées dans leur véritable longueur ; menant ensuite par un point quelr xonque a un plan perpendiculaire à ces génératrices, la ligne ac sera la projection verticale de la section droite (497). Il serait facile de construire la projection horizontale de cette " courbe en abaissant des perpendiculaires de tous les points où le plan ac est rencontré par lès génératrices du cylindre ; mais cette seconde projection serait inutile pour le but que nous nous proposons ici. Ce qui est essentiel, c'est d'obtenir la section ac dans sa véritable grandeur ; pour y parvenir, on la fera tourner jusqu'à ce qu'elle soit rabattue sttr le plan de

PL. 49. CYLINDRÎOtJES. 247

projection; ce qui donnera la courbe M pour la véritable grandeur de la section droite du cylindre. . Pour construire cette courbe, il faut déterminer un certain nombre de points assez rapprochés, pour que Ton puisse, sans erreur sensible, considérer comme une ligne droite chacun des arcs compris entre deux points consécutifs, et plaçant tous ces petits arcs, à la suite les uns des aij^tres, sur la ligne droite &a'c'^ on élèvera par chacun des points de division de cette ligne, une perpendiculaire égale à la génératrice correspondante de la surface cylindrique que Ton se proposera de développer; puis faisant passer des courbes par les extrémités de ces perpendiculaires, on aura construit le développement de la surface du cylindre.

499. Pour plus d'ordre, on fera bien de numéroter les génératrices sur les deux projections, ainsi que dans le développement de la surface et sur la courbe M qui représjente la section rabattue.

500. Pour obtenir sur le développement là position d'un point déterminé mm', on construira la génératrice correspondante sur les deux projections, d'où il sera facile de déterminer ?a position sur le développement du cylindre.

501. Si Ton voulait savoir ce que devient dans le développement une courbe quelconque tracée sur la surface du cylindre, on construirait cette courbe sur les deux projections, d'où, par des parallèles à la droite c'a'c', il serait facile de ramener chacun de ses points sur la génératrice correspondante du développement.

502. Le lecteur a sans doute compris que si Ton a primitivement projeté le cylindre donné sur un plan parallèle à sa direction, c'est afin d'éviter la construction nécessaire pour obtenir la véritable longueur de chaque génératrice.

11 peut cependant exister quelques cas, très-rares, il est ^rai, où l'on serait forcé de placer un cylindre dans une position inclinée, fig. 255, 256. Si l'on voulait alors construire le développement, il faudrait opérer de la manière suivante :

On projetterait, fig. 257, le cylindre donné sur un planauxiliaire A'Z' parallèle à sa direction (285), et cette nouvelle^ projection remplaçant la projection verticale primitive, on agirait exactement pour le reste comme nous l'avons dit dansrexetnple précédent.

503. Si un point était donné par sa projection verticale m et qu'on voulût déterminer la position de ce point dans le^ développement du cylindre, on commencerait par construire la projection horizontale m' de ce point, d'bù on déduirait la projection m^' sur le plan auxiliaire ; puis après s'être assuré que les deux projections m et m^^ sont à la hauteur, on ramènerait ce point sur la génératrice correspondante du développement par une parallèle à la droite c'a'c'.

504. Les constructions que nous venons dlndiquer consistent à regarder le cylindre comme un prisme dont la surface se composerait d'un très-grand nombre de faces, hypothèse qui n'est pas tout à fait exacte, mais qui suflSt pour la plus grande partie des applications à l'industrie (413).

D'ailleurs, lorsque la courbure d'un arc sera très-sensible, on pourra prendre sur cet arc des points plus rapprochés, et, par cette précaution, on parviendra toujours à développer la section droite, de manière à rendre les erreurs tout à fait in-, sensibles. ^

505. Si la section droite était un cercle, on pourrait me^ surer le rayon avec beaucoup de soin, et prendre une lon-^ gueur égale à 27rR pour le développement de la circonférence ; après quoi on établirait sur cette ligne développée les points où elle doit être coupée par les génératrices du

. cylindre.

506. Si la nature. des applications dont on s'occupe exigeait que Ton développât un grand nombre de cylindres circulaires, on pourrait conserver dans son portefeuille ou sur une planche à dessin un triangle ca6, ' dans lequel les deux, côtés ac, ab seraient en^re eux comme 1 : 3,14 ou plus exactement encore comme 1 : 3,1416.

• Pour développer un cylindre qui aurait potrr base la circonférence N, flg. 258, on fera, sur la figure 254, ad égal à a"c"\ puis on tracera dV parallèle à c6, ce qui donnera aV pour la longueur de la circonférence N.

Si ensuite on fait as égal à la hauteur du cylindre donné, le rectangle saVh sera le développement, sur lequel on pourra ensuite tracer les génératrices à des distances égales ou inégales, suivant la nature de la question.

507. Plan parallèle au cylindre. La combinaison la plus simple du cylindre et du plan a lieu lorsque ces deux surfaces sont parallèles. Pour satisfaire à cette condition, il suffit de faire passer le plan par une droite quelconque parallèle au cylindre.

Supposons, par exemple, que, par un point donné mm\ fig. 259, pi. 50, on veuille construire un plan parallèle à un cylindre dont on connaît la direction, on construira la droite mn^ m^n' passant par le point donné ; puis, tous les plans passant par cette droite seront parallèles au cylindre.

On peut donc distinguer quatre cas :

1» Lorsque la trace n/:> du plan ne rencontrera pas la trace du cylindre, le plan lui-même ne rencontrera pas le cylindre ;

2° Si la trace nf du plan est tangente en a à la trace du cylindre, le plan touchera le cylindre dans toute l'étendue de la génératrice ac\

3** Si la trace np" du plan coupait le cylindre en plusieurs points a', a'\ a"'^ le plan couperait le cylindre suivant les génératrices a'c', a"d\ a"'d" \

4** Enfin, si la trace np'^^ du plan touchait la trace du cylindre en a»^ et la coupait au point a^, le plan toucherait le cylindre suivant la génératrice a^w^ et le couperait suivant ay^f.

Il résulte évidemment de là que si la trace d'une surface cylindrique avait beaucoup de sinuosités, un même plan pourrait toucher et couper ce cylindre suivant un grand nombre de génératrices àifférentes.