Plan tangent au cylindre. Construire un plan

ta figent à un'cylindre par ttn point mm' appartenant à la surface de ce cylindre, flg. 260.

Le plan tangent devant contenir toutes les droites qui toucheraient la surface du cylindre au point donné, deux quelconques de ces lignes suffiront toujours pour déterminer sa position ; de sorte qu'il ne reste plus qu'à choisir, parmi toutes les tangentes au point mm\ celle dont la construction est la plus simple.

Or la génératrice qui contient le point donné devant être située dans le plan tangent, il ne restera plus qu'à obtenir une seconde ligne qui toucherait le cylindre au même point. On pourrait donc construire par ce point une section quelconque du cylindre (454), et le plan demandé serait déterminé par la tangente à cette courbe et par la génératrice mft, m'b' \ mais puisque nous savons que la plan tangent au cylindre doit le toucher dans toute retendue de la génératrice de tangence, on pourra remplacer la tangente au point mm' par toute autre droite qui toucherait le cylindre en un point quelconque de la génératrice mb, m'V. Ainsi, dans l'exemple qui nous occupe, le plan tangent pourra être déterminé par la , génératrice mh, m'b' et par la droite qui touche au point b la trace horizontale du cylindre, et qui, par conséquent, sera la trace horizontale du plan tangent cherché. Quant à la trace verticale, on l'obtiendra facilement en assujel lissant ce plan à contenir le point mm' ou tout autre point de la génératrice mb.

509. Normale, On donne le nom de normale à toute droite perpendiculaire à une surface courbe. D'après cela, si Ton veut construire une normale en un point donné d'un cylindre, on construira d'abord le plan tangent par ce point, et la droite mn, m'n\ perpendiculaire au plan tangent (103), sera normale à la surface du cylindre.

Tout plan qui contiendrait la normale mn, serait un plan normal 3.U point m.

510. Construire un plan tangent à un cylindre par un point pris en dehors de^sa surface.

Soient, flg. 261, le cylindre A, A' et le point m, m'. On

construira parallèlement aux génératrices du cylindre la droite {mb, m'V), et par le point (6) où cette^ ligne^encontrera le plan horizontal, on fera passer deux tangentes à la trace horizontale du cylindre ; ces deux lignes seront les traces horizontales de deux plans qui satisferont à la question. En effet, ces plans devant contenir la ligne {mb, m'V) parallèle au cylindre, contiendront aussi les génératrices passant par les points de tangence c et d, et toucheront le cylindre suivant la longueur de ces génératrices.

511. Construire un plan tangent à un cylindre parallèlement à une ligne donnée.

Soient, flg. 262, 263, A, A' le cylindre, et a,, a', la droite donnée. En un point quelconque (m, m') de cette droite, on construira une seconde ligne bV parallèle aux génératrices du cylindre. Ces deux lignes détermineront un plan p. En supposant que ce plan se meut parallèlement à lui-même, il viendra prendre la position des plans p' ou p". Dans l'une ou dans l'autre position, il ^era tangent au cylindre, car le plan p contenant la ligne (6, V) parallèle au cylindre, les plans p' et p" parallèles au plan p contiendront tout entières les génératrices passant par les points de tangence c, d, et loucheront le cylindre suivant ces génératrices.

612. Trouver Vintersection d'une ligne droite avec la surface d'un cylindre.

Soit (a, a'), flg. 264, la droite donnée. On fera passer par cette-droite un plan p parallèle au cylindre ; ce plan coupera la surface suivant deux génératrices (6, b) dont les intersections avec la ligne donnée a, a', seront les points cherchés (m, m') : l'un est celui par lequel la droite entre dans le cy- Mndre, et l'autre celui par lequel elle en sort.

La portion mm, nVm/ de la ligne donnée est dans Tintérieur du cylindre.

Si la trace horizontale ps du plan auxiliaire ne rencontrait pas la trace du cylindre, on en conclurait que la ligne donnée ne rencontre pas le cylindre ; et si la trace ps touchait la

trace du cylindre, cela indiquerait que, la ligne donnée est tangente au cylindre:

Le point de tangence serait déterminé par Tintersection de la ligne donnée aa' avec la génératrice, suivant laquelle le plan toucherait le cylindre.

513. Section du cylindre par un plan oblique. Première méthode. Nous avons eu Toccasion de construire (498) la section du cylindre par un plan perpendiculaire aux génératrices et au plan de projection. Nous avions précédemment (489, 490) construit la section par les plans de projection ou par des plans qui leur étaient parallèles.

Voyons actuellement ce qu'il faudrait faire pour construire la section d'un cylindre quelconque par un plan oblique.

514. Nous pouvons admettre dès à présent, comme principe général, que, pour obtenir la courbe suivant laquelle une surface quelconque est coupée par un plan, il suffit de construire les points suivant lesquels ce plan coupe un système de lignes tracées sur la surface, 'et qu'il ne restera plus, dans chaque cas particulier, qu'à choisir le système de lignes le plus simple. Ainsi, lorsqu'il s'est agi de construire Tintersection d'un polyèdre par un plan, nous avons dû chercher les points suivant lesquels ce plan coupait les arêtes du po-> lyèdre. Nous construirons ici les points suivant lesquels le plan donné coupe les génératrices du cylindre ; de sorte que la question sera réduite à recommencer plusieurs fois les opérations nécessaires pour déterminer l'intersection d'une ligne droiie par un plan (87).

Ainsi, flg. 266, pi. 51, pour construire le point où le plan oblique p'pv est percé par la génératrice 1-1 du cylindre donné, on emploiera comme surface auxiliaire le plan h'iq qui contient la génératrice dont il s'agit. Ce plan coupera le plan donné, suivant une droite ft?, dont l'intersection avec la génératrice 1-1 déterminera le point cherché 1'.

En recommençant cette opération, il sera facile d'obtenir autant de points que l'on voudra.