Pour éviter la confusion, il ne faut pas, dès Je com

mencement, chercher des points trop près les uns des autres ; il vaut mieux dé lerminer des points intermédiaires quand. on aura reconnu quelles sont les parties où la courbure de la ligne cherchée devient plus sensible.

516. On devra remarquer aussi que, dans la construction des courbes, les points sont toujours mieux déterminés par des tangentes que par des sécantes. En effet, si un point est obtenu par l'intersection de deux lignes ab, ed, fîg. 270, tout le soin que l'on aura pu apporter à la construction de' ces lignes ajoutera certainement à l'exactitude avec laquelle la position de ce point sera déterminée ; mais cela ne donnera aucune idée de la direction de la courbe en deçà et au delà du point dont il s'agit ; tandis que si l'on connaît une tangente, et que le point où cette ligne touche la courbe cherchée soit déterminé avec exactitude, on en pourra conclure la direction de cette courbe dans le voisinage du^point de tangence. Enfin, il est évident que, par la construction d'un certain nombre de tangences, flg. 271, on pourra déterminer d'avance, avec une exactitude presque absolue, les changements et variations de courbure de la Jigne cherchée.

517. On devra donc, dans Texemple qui nous occupe, Hg. 266, commencer par déterminer les points qui appartiennent aux génératrices 2-2, 4-4, 1-1,3-3, les deux premiers étant ceux suivant lesquels la projection horizontale de la courbe touche les limites de la projection horizontale du cylindre, et les derniers appartenant aux limites de la projection verticale.

518. L'exactitude que l'on obtiendra dans la position de ces différents points dépendra en grande partie du soin avec lequel on aura déterminé les pieds des génératrices qui les contiennent.

C'est pourquoi il sera très-essentiel de vérifier d'abord les points de tangence 1, 2, 3, 4.

519. Tangente À la courbe de section. On se rappellera que la tangente en un point quelconque de la courbe

r-2'-3'-4' doit être sitiiée dans le plan tangent au cylindre (454) ; elle sera donc l'intersection du plan tangent et du plan coupant, d'où résulte la construction suivante.

On tracera : 1** la* droite a-5 qui est la trace horizontale du plan tangent au point 5' (508) ;

2" La droite a-5', intersection du plan tangent a-5 avec le pla-a coupant fpv^ ce qui donne la projection de la tangence au point 5'.

11 est évident qu'un certain nombre de tangentes construites de cette manière avant la courbe permettront de la tracer avec une très-grande précision.

520. Pour obtenir daûs sa véritable grandeur la courbe suivant laquelle le cylindre pénètre dans le plan donné, on rabattra ce plan en le faisant tourner autour de sa trace horizontale ou de toute autre droite parallèle au plan de projection.

Dans ce mouvement, chaque point devra parcourir un arc de cercle perpendiculaire à la charnière du rabattement ; il ne restera donc plus qu'à déterminer la distance de chacun des points de la courbe à cette droite (129). Les lignes d'opération n'ont été conservées que pour le point 4' qui devient ^" dans le rabattement.

521. Section plane du cylindre. Deuxième méthode. 11 est utile, comme étude et comme exercice, de construire directement comme nous venons de le faire, la courbe de section d'un cylindre quelconque par un plan oblique; mais, dans les applications, on préfère toujours avoir recours à des projections auxiliaires qui, en simplifiant le travail graphique, augmentent Texactitude des résultats.

Ainsi, par exemple, les données étant les mêmes, on prendra un plan auxiliaire de projection k!V vertical et perpendiculaire à la trace horizontale du plan donné et par conséquent perpendiculaire à ce plan.

Le pied d'une génératrice quelconque 6-6 se projettera par le point 6' sur la ligne AT.

On choisira sur cette génératrice un point quelconque mm\

PL. 51. «GtliNDMOUES. 255

dont la projection m" s'obtiendra en faisant m"o^ égal à m'o. Enfln, la droite &m" sera la projection de la génératrice 6-6 sur le plan auxiliaire de projection A'Z'.

Cette première droite étant obtenue, le parallélisme des génératrices permettra de tracer autant de ces lignes que l'on voudra sur la projection auxiliaire.

11 sera utile surtout de construire les limites déterminées par les deux plans tangents perpendiculaires au plan de projection k!V.

La troisième trace in" du plan p^pv s'obtiendra en prenant sur la première trace verticale un point quelconque n^ que Ton projettera en w, et de là en n'\ en faisant uV^ fig. 269^ égal à un\ flg. 266.

"^ 11 résulte de cette nouvelle disposition d'épuré, que le plan donné étant perpendiculaire au nouveau plan vertical A'Z^ la projection de la courbe de section sur ce plan se réduit à une 'ligne droite zx^ et qu'il ne restera plus pour déterminer la pro-^ jection horizontale de cette courbe, qu'à tracer des perpendiculaires à la droite A'Z', par les points où la trace vn" coupe, les projections des génératrices du cylindre sur le plan de la figure 269.

Le point a?, le plus haut, et le point z, le plus bas de la courbe, seront déterminés sur les projections primitives par les droites œx\ x'œ'\ zz\ %'%".

On pourra vérifier la position de ces points :

l'* En exprimant que chacun d'eux est situé dans le plan f^pv.

2° En s'assurant qu'ils sont à la même hauteur sur les deux projections verticales, flg. 266 et 269.

622. Un autre avantage résulte encore de la disposition d'épuré que nous venons d'adopter : c'est que, pour construire la courbe de section G dans sa véritable grandeur, il n'y aura plus à chercher la distance des difiërents points de cette courbe à la trace du plan donné, puisque les droites qui déterminent ces distances seront parallèles au plan de la nouvelle projection A^Z', et par conséquent projetées sur ce plan dans leur véritable grandeur. On pourra aussi projeter sur

ce plan les arcs de cercle parcourus par chacun des points de la section, lorsque l'on fait tourner cette courbe autour de la trace pv, pour la rabattre sur le plan horizontal de projection.

B23. Nous avons obtenu la courbe de section C dans sa véritable grandeur, ce qui nous permettra de la tracer sur le plan donné ; et nous pourrions, par conséquent, la découper, s'il s'agissait de faire pénétrer le cylindre à travers une feuille mince de métal ; mais cela ne suffit pas. 11 serait utile encore, pour donner plus de précision à l'assemblage des deux sorfeces, de tracer la courbe de pénétration sur la surface du cylindre. Le" moyen le plus simple pour obtenir ce résultat sera de développer le cylindre, en opérant comme nous l'avons fait au n* 498.

Ainsi, la droite k^T' est la trace d'un plan auxiliaire de projection verticale et parallèle au cylindre ; sd est le plan de la section droite qui est rabattue en D dans sa véritable grandeur. Enfin, la figure 268 est le développement de la portion dOv cylindre comprise entre la section droite et le plan horizontal de projection.

524. Si l'on voulait obtenir la tangente a"'5»* dans le développement du cylindre, flg. 268, on remarquerait que cette ligne appartient à un triangle a'"5"'5ïv, dont les trois côtés sont connus.

En effet, a-5, trace horizontale du plan langent, est déterminée dans sa véritable grandeur ; la g^nr^ralrice de tangence étant parallèle au plan de la figure 272, est égale à sa projection 5^'-5^" sur ce plan. Enfin, la tangente est rabattue en a-5'", suivant sa longueur réelle ; de sorte que si Ton fait, sur la figure 268, a'"-5"'' égal à la trace horizontale a-5 du plan tangent, fîg. 266, 5"'-5iv égale à la génératrice de tangence 5v'-5^", flg. 272, enfin a'"-^5^v égal à a-5'", le triangle a'"5'"5iv sera égal à celui dont on a les deux projections, flg. 266.

Il est évident que, si Ton a bien opéré, la droite a'"-5'" doit . être tangente à la courbe 4'"5'"4'", qui représente le développement de la trace horizontale du cylindre, et la droite

^/''»5iv doit être tangente à la courbe 4^ 5ï^4^ y développement de la section du cylindre par le plan oblique p'pv.

525. La flgure 273 représente les constructions nécessaires pour obtenir la courbe d'intersection d'un cylindre piair un plan parallèle à la ligne AZ. Les opérations seront simplifiées par l'emploi d'un plan auxiliaire de projection pq, sur lequel la courbe cherchée se projettera par une ligne droite zx,

626. Sur la flgure 267, le plan coupant étant perpendiculaire au plan vertical de projection, la droite zx est la projection verticale de la courbe de section dont on obtiendra la projection horizontale en abaissant des perpendiculair.es à lai ligne AZ par tous les points où la droite zœ coupe les projections verticales des génératrices du cylindre.

527. Ehfm, si le cylindre proposé était perpendiculaire à l'un des plans de projection, tig, 265, il serait alors Tune des deux surfaces projetantes de la courbe cherchée; sa trace serait Tune des deux projections de cette courbe, et la seconde projection se construirait en opérant comme nous l'avons dit au n° 57.

528. Il peut être utile quelquefois d'obtenir lar section droite d'un cylindre sans construire le développement de cette surface, on peut alors se dispenser d'employer une^projection auxiliaire parallèle aux génératrices (502).

En effet, faisons tourner le plan de section droite msq, fïg. 274, autour de sa trace horizontale sq. La trace verticale ms viendra se placer en ^m".

On pourra déterminer le point m'' en cherchant sa distance ' au point o. Mais il sera plus simple (149) de remarquer que le triangle projeté sur le plan horizontal par som^ est rectangle au point o, et puisque l'on connaît dans leur véritable grandeur :

1* Le côté os de l'angle droit ; ' .

2° L'hypoténuse sm faisant partie de la trace verticale du plan donné,

On fera tourner cette hypoténuse autour du point 5 jusqu'à ce que le point m soit venu se placer en m^^ sur la trace m^m^^ du plan vertical dans lequel se mentale i-Oint m lorsque Ton fait tourner le plan de la section droite autour de sa trace horizontale sq.

Le-^plan rnsq cHant rabattu en qsm"y supposons que noua voulons construire le point où. ce plan est percé par la génératrice 1-1 : nous remarquerons d'abord (153) que cette droite est l'intersection des deux plans projetants p'-l-^^ p'^A-q" \ or, le premier de ces plans étant perpendiculaire à la trace horizontale sq, co,upe le plan de section droite suivant une ligne vA" qui dans le rabattement se confond avec vq\ Ensuile, le plan ^''-X-q" perpendiculaire à la trace mA* du plan donné coupe ce plan suivant une droite qui, dans le rabattement, devient w'-l".

De sorte que le point \" suivant lequel se coupent les deux droites v 1'^ uA", doit. être l'intersection du plan qsyii par la génératrice 1-1. La même opération étant recommenct^e pour Ion tes les génératrices du cylindre, on aura la section droite rabattue dans sa véritable grandeur.

529. Limites des courbes de section. Nous avons dit (516) que dans la construction des courbes, il faut chercher surtout à obtenir des tangentes, parce que ces lignes ont l'avantage de rendre sensible la direction de la courbe dans le voisinage du point de tangence.

Par conséquent, lorsque Ton cherchera la courbe de section d'une surface par un plan, on devra construire une tangente partout où il y aura quelque incertitude sur la direction de la courbe, et l'on a vu au numéro 519, que pour obtenir cette tangente il faut :

\o Faire passer par le point dont il s* agit un plan tangent à la surface donnée ;

2° Construire Cintersectinn du- plan tangent avec le plan coupant.

Alors, on construit la tangente pour mieux déterminer la direction de la courbe ; mais il arrive souvent, au contraire, que l'on connaît la direction: de la courbe et celle de la tan-

gente, de sorte que, dans ce dernier cas, c'est le point de tangence qu'il faut déterminer.

Ainsi par exemple, fig. 1, pi. 52, supposons que l'on veut obtenir le point le plus élevé de la courbe qui provient de la section du cylindre A par le plan P. On remarquera que pour ce point 1, la tangente T^ doit évidemment être horizontale. Or, cette tangente étant l'intersection du plan 'tangent et du plan coupant, il faut que les traces horizontales de ces deux plans soient parallèles ; d'où résulte la construction suivante :

1<> La droite a tangente à la trace horizontale du cylindre et parallèle à la trace horizontale du plan coupant P sera la trace horizontale du plan tangent P^ qui contient le point le plus élevé 1 de la courbe demandée ;

2° La droite horizontale T^ suivant laquelle le plan tangent Pj rencontre le plan coupant P sera la tangente au point cherché 1 j

3" Ce point sera déterminé par Tinterseclion de la tangente T^ avec la génératrice- G^ suivant laquelle le cylindre est touché par le plan P^. Le point 2, qui est le plus bas de la courbe demandée, sera déterminé de la même manière par le plan tangent P2 dont la trace horizontale est parallèle à la trace horizontale du plan P.

,530. Si Ton avait sur l'épure la trace verticale du cylindre, on pourrait, en opérant comme nous venons de le faire, déterminer 1q point le plus près ou le plus éloigné du plan vertical de projection ; mais on peut également réussir en employant la trace horizontale du cylindre donné.

En effet, on remarquera que la question que nous venons de résoudre n'est qu'un cas particulier de celte autre question beaucoup plus générale, par laquelle on demanderait de délernjiner sur une courbe de section le point le plus près ou le plus éloigné d'un plan quelconque.

Or il est évident, flg. 2, que pour le point 7, qui est le plus près, ou pour le point 8 qui est le plus éloigné d'un plan quelconque Pg la tangente T7 bu Tg sera toujours-parallèle à ce plan.

Par conséquent, la tangente au point cherché devant être

à60 SURFACES PL. 52»

située dans le plan P de la courbe de section et parallèle au plan donné P9 sera parallèle à l'intersection du plan P avec le plan Pg ou avec tout autre plan parallèle au plan P9 d'où résulte la méthode suivante :

!• On construira, fig. 4 et 5, un plan quelconque P4o parallèle au plan donné P^ lîg. 7 ;

2** 'On cherchera l'iritersection du plan P et du plan P^^;

3' La droite uu^ que Ton obtiendra sera parallèle à la tangente demandée, de sorte que la question est réduite à cons êruire un plan tangent au cylindre, parallèlement à une droite connue.

Or ce problème,* résolu au n** 51 L, ne présente plus aucune difficulté.

En effet,

1° Par un point quelconque 00' de la droite uu^^ fîg. 5, on fera passer une droite ce, parallèle au cylindre ;

2** On déterminera les traces horizontales m et n des deux droites ww' et ce' ;

3** La droite mn sera la trace horizontale d'un plan parallèle aux plans tangents cherchés P7 et Pg.

Les droites T? et Tg suivant lesquelles le plan P rencontre les deux plans P7 et Pg seront les tangentes aux deux points 7 et 8 de la courbe de section, et ces points seront déterminés par la rencontre de ces tangentes T7 et Tg avec les génératrices G7 et Gg suivant lesquelles le cylindre est touché par les deux plans P7 et Pg.

531. La figure 3 contient les opérations nécessaires pour déterminer le point le p'>/-y f rcs el !e point le plus r/oigné du plan vertical de projection, dont l'intersection avec le plan P sera la trace verticale de ce dernier plan ; cette ligne, prjojetée par les droites u et u\ sera parallèle aux tangentes demandées, et la question revient par conséquent à construire deux plans tangents au cylindre, parallèlement à la trace verticale uu' du plan P.

Pour y parvenir (530) :

1* Par le point 00^ pris à volonté sur la trace verticale du plan P; on construira la droite c&' parallèle au cylindre ;

2° La droite mn^ qui contient les traces horizontales des

PL. 52. CYLINDBIQUES. 261

droites uu' et cc'^ sera parallèle aux traces horizontales des deux plans tangents demandés ;

30 On construira les traces P3 et P4 de ces plans tangents ;

4° Les tangentes Ts et T* aux points cherchés ;

5* Les génératrices G» et G* du cylindre détermineront ces deux points.

532. La figure 6 contien); les opérations nécessaires pour déterminer le point qui est situé le plus à droite, et celui qui est situé le plus à gauche, sur la courbe demandée, ce qui revient à construire le point le plus près et le ^Xxx^éloigné d'un plan Pu perpendiculaire à la ligne AZ. Ainsi : '

1° La droite i/u', intersection du plan P par le plan P^a parallèle au plan P^i sera parallèle à la tangente cherchée ;

2° La ligne uu'; et la droite ce' parallèle au cylindre déterminent la trace horizontale mn d'un plan parallèle aux plans tangents P« et P^ qui doivent contenir les points demandé» 5 et 6;

3** On construira les traces horizontales P» et Pg de ces plan» tangents ;

4° Les tangentes Tb et T^ parallèles au plan P^^;

5« Les génératrices de* tangence Gi et G^ et les points demandés 5 et 6 seront alors connus.

533. Toutes ces opérations sont réunies sur la planche 53, où l'on s'est proposé de déterminer la courbe de section d'un cylindre AA' par le plan P.

La concordance des lettres nous dispensera de répéter tout ce que nous avons dit pour expliquer les figures 1, 3, 5 et 6 de la planche précédente. Ainsi :

1» Les points 1 et 2 de la planche 53 ont été obtenus en opérant comme nous l'avons dit au n^ 529 ;

2° Les points 3 et 4 par la méthode infliquée au n* 531 ;

3** Les points 5 et 6 par celle du n^ 532 ; . 4® Enfin, les points 7 et 8 sont le plus près et le plus éloigné du plan Pg (530).

Le plan P^o parallèle au plan P^ coupe le plan P donné suivant la droite uu'^ qui détermine la direction des tangentes aux points cherchés.

La droite uu' et la ligne ce* parallèle au cylindre déterminent la trace horizontale mn d'un plan P^i parallèle aux plans tangents cherchés P7 et Pg.

Les tangentes T7 et Tg parallèles à la droite uu' et les génératrices G, et Gg du cylindre se coupent suivant les points cherchés 7 et 8.

Les opérations précédentes déterminent huit points et huit tangentes, et si l'on ajoute les quatre points situés sur les génératrices qui forment les limites des projections du cylindre donné, on aura certainement obtenu la courbe de section avec une grande exactitude.