Section du cylindre^ 3' méthode. Nous avons vu

I** Que la recherche de la ligne d'intersection d^un cylindre par un plan serait simplifiée par l'emploi d'un plan auxiliaire de projection perpendiculaire au plan coupant, et sur lequel, par conséquent, la courbe cherchée se projetterait par une ligne droite ;

2° Que cette disposition d'épuré facilite le rabattement de la courbe de section, puisqu'elle donne directement les distances de chacun de ses points à la charnière, et que, de plus, elle permet de projeter les cercles parcourus par ces points, ce qui contribue beaucoup à rendre Tépure plus exacte et plus facile à comprendre ;

3» Enfin, nous avions eu précédemment Toccasion de reconnaître que, pour faire le développement d'un cylindre, il était utile de le projeter sur un plan parallèle à sa direction (502).

One grande partie des opérations de l'épure précédente seraient évitées si l'on prenait, dès l'origine, fig. 275, pi. 54, un des deux plans de projection perpendiculaire au cylindre A, et le second plan de projection perpendiculaire au plan coupant j)&p.

Par suite de cette disposition, le plan donné et le cylindre deviendront les deux surfaces projetantes de la courbe demandée, qui aura pour Tune de ses projections la droite aa, et pour deuxième projection la courbe A'.

En faisant tourner le planp autour de sa trace horizontale.

on obtiendra la courbe A'^ pour la véritable grandeur de ia action.

Enfin, la courbe A' éttnt la section droite du cylindre, et les génératrices étant projetées sur le plan vertical dans leur véritable grandeur, il sera facile de construire le développement A", dans lequel la courbe a' m V représente le développement de la section oblique aa,

535. La tangente c"rpy est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont : m^'^my é^^Xkm'ni"

-génératrice de tangence ; et c^m^'^ égal à cm, trace du plan , tangent et projection horizontale de la tangente. •

La figure A'" étant enveloppée sur le cylindre A, fig. 280, il sera facile le tracer la courbe de section.

536. On aurait tort de considérer la méthode précédente ^comme moins générale que celle du n** 513. En effet, les plans de projection ne sont autre chose que des conceptions géométriques adoptées par convention, pour faciliter la solution des problèmes. Le choix de ces moyens doit donc rester entièrement à la disposition de celui qui opère, et pourvu qu'il ne change rien aux données ni à leur position relative, la généralité de la question n'en sera-pas moins complète.

J'insiste particulièrement sur cette remarque, parce que c'est surtout dans le choix des moyens d'opération que consiste toute rhabileté du praticien.

11 faut donc s'appliquer à reconnaître, dans chaque question générale, quelle doit être la disposition d'épuré la plus coàiraode, et, dans chaque cas particulier, quelles sont les relations qui, résultant de la nature des données, peuvent •contribuer à simplifier le travail ou augmenter l'exactitude du résultat. Ainsi, par exemple, si le cylindre proposé dans l'exemple précédent avait pour directrice une ellipse, on pourrait construire un parallélogramme circonscrit à cette courbe; les côtés de ce parallélogramme seraient les traces de quatre plans tangents parallèles deux à deux, et les intersections de ces plans par le plan pc'jo donneraient, le parallélogrammecirconscritàla courbe de section rabattue. Les droites ^ui joignent les milieux descôtésopposésdu parallélogramme

sont, dans ce cas, les diamètres conjugués de la courbe de section.

11 peut cependant arriver quelquefois que Ton soit obligé d'opérer sur un cylindre incliné dans l'espace ; alors on emploiera des plans auxiliaires de projection, comme nous l'avons fait aux n'"* 521, 522.

537, Transjor mations diverses de la courbe de section. Si l'on suppose qu'un cylindre AA', tlg, 279 et 276, soit coupé par un plan pq^ et que l'on fasse tourner ce plan autour d'une ligne vw, fig. 276, la courbe de section augmentera de longueur à mesure que le plan se rapprochera de la direction du cylindre, et finira par s.e rapprocher en deux droites parallèles m'n\ *

Parmi, les différentes formes affectées par cette courbe, il faut distinguer surtout :

La section droite,

La section oblique,

La section parallèle»

On remarquera que, par suite de ces variations de courbure,, la ligne de. section se rapproche toujours de la tangente mV, avec laquelle elle finit par coïncider lorsque le plan devient parallèle au cylindre.

11 résulte de là que toute génératrice d'un cylindre peut être, à volonté, considérée comme Ime section dont le rayon, de courbure serait infini, ou comme une tangente à cettfr même section.

Ainsi, les deux droites m'n' seront deux tangentes à la section du cylindre par le plan nin, flg. 279. Nous rappellerons que si Ton faisait tourner ce même plan autour de Tune des deux droites m'n', il viendrait un moment où ces^ deux tangentes ou génératrices de section se réuniraient en une seule pour former une génératrice de tangence (450).

538. Si nous supposons que la section droite du cylindre proposé soit une ellipse ayant pour ses axes les deux droites aa, flg. 276, et ce flg. 279, et que l'on fasse tourner le plan coupant autour de la ligne vu, on obtiendra comme variétés principales de la courbe de section :

1° La section droite aa^ ce; '

2° La section ac'flgr^ 279, qui est un cerclé, lorsque le rayon horizontal ac^ est égal au rayon vertical aé, flg. 276 ;

3° La section elliptique ac^^ qui se projectera par un cercle, lorsque cc^^ projection verticale de a&^ sera égal au rayon vertical ac;

4** La section oblique ac^^^ dont la longueur dépendra de l'obliquité plus ou moins grande du plan coupant ;

5** Les deux droites parallèles mV, m'n', provenant de la section par le plan parallèle au cylindre ;

6* Enfin, la liigiie de tangence, qui résulterait de la réunion des génératrices de section, si l'on faisait tourner Je plan autour de Tune des deux génératrices m'n'. ^

La comparaison de ces diverses espèces de lignes donne lieu à des simplifications remarquables, suivant les différente problèmes à la solution desquels elles doivent concourir.

539. Supposons, par exemple, que, pour résoudre une question proposée, il soit nécessaire de construire, fîg. 278, un grand .nombre de sections d'un même cylindre par des plans horizon laux ; on se rappellera que toutes ces courbes doivent être égales et parallèles à la trace du cylindre. Or, dans le cas où cette trace serait une ellipse, on construiriBk successivement :

1<* La trace ccV, qui doit contenir les centre? de toutes les sections demandées ;

2<* Tous les axes de ces courbes qui doivent être parallèles à ceux de la trace ;

3** Les droites aa^^, passant par les extrémités des grands axes, détermineront ces points;

4° Les droites bb^^ détermineront les extrémités des petits axes ;

5** Enfin, les deux droites mm^\ nn" détermineront les points où les courbes cherchées sont touchées par les deux génératrices qui forment tes limites de la projection horizontale du cylindre.