On pourrait encore dessiner l'une des courbes avec

beaucoup de soin sûr une carte que Ton découperait, et qui, reportée à toutes les places, servirait à guider la pointe du «rayon.

11 est évident que cette manière d'opérer serait surtout commode dans le cas où Ton aurait à tracer un grand nombre de fois une courbe très-compliquée, surtout lorsque Ton ne peut déduire de la définition de cette courbe aucun moyen 4'abréger le travail ou de vérifier le résultat.

541. Aux abréviations provenant de la nature des courbes qui concourent à la solution des problèmes, il faut ajouter celles plus importantes encore qui résultent du choix des plans de projection.

Supposons, par exemple, que la question proposée donne lieu à la construction d'un grand nombre d'ellipses égales ou semblables entre elles, il est évident que le travail serait considérablement diminué, si l'on pouvait trouver un plan de projection sur lequel chacune de ces ellipses se projetterait par un cercle.

Or, la détermination de ce plan sera toujours facile. En cflet,

Supposons que l'on ait obtenu, fig. 277, Tune de ce& ellipses avcu^ ou simplement les deux axes ac, vu, on construira d'abord une projection auxiliaire aV sur un plan parallèle au grand axe et perpendiculaire au petit axe vu ; puis, après avoir décrit une demi-circonférence s.ur le diamètre «V^ on fera le triangle rectangle a'c^^c^ de manière que le côté a'c^^ soit égal au petit axe vu de Tellipse proposée. Cela étant fait, il est évident que sur tout plan, tel que pmp'y qnq\ perpendiculaire à la corde cV^ et par conséquent parallèle à aV^ leliipse se projettera par un cercle, puisque la droite aV^ égale au petit axe de l'ellipse, sera la projection du grand axe aV.

Si on rabat le nouveau plan de projection pmp\ en le faisant tourner autour de sa trace p'm, la projection de Tel-

lipse deviendra a'"v^"c"'u'" , et si on rabat autour de qn, on auraraïvyivc^^tyiv.

Les q narrés circonscrits à ces deux cercles sont les projections du rectangle circonscrit à Tellipse donnée.

Oa obtiendrait le même résultat en projetant rellipse sur un plan quelconque perpendiculaire à la corde a'c^.

542. La direction du nouveau plan de projection fxnp' déterminée, supposons que Ton veuille projeter une seconde ellipse égale et parallèle à la première, et qui aurait pour centre le point x.

On consiruira successivement les points a/, a?'', a?'", ou a?'v, suivant que l'on aura choisi le plan 'pmp' ou qnq[.

On consiruira ensuite la circonférence formant la projection de l'ellipse donnée.

Pour construire une ellipse semblable et parallèle aux précédentes, on projetterait le centre et l'extrémité de l'un des axes pour chacune de ces courbes, ce qui suffirait pour déterminer le centre et le rayon de la circonférence demandée.

:. Cylindre circulaire. Danslesarticles qui précèdent, nous avons principalement cherché à mettre en évidence les propriétés communes à toutes les surfaces cylindriques. Cela pourrait suffire, s'il ne s'agissait que d'exposer la théorie générale de ce genre de surfaces; mais je m'éloignerais du but que je me suis proposé dans cet ouvrage, si je négligeais d'appeler l'attention du lecteur sur les* cas particuliers que Ton rencontre le plus souvent dans les applications.

Ainsi, par exemple, s'il s'agissait de construire les projections d'un cylindre circulaire terhiiné, comme le sont presque tous les cylindres employés dans l'industrie, par deux bases perpendiculaires à sa direction, les propriétés, du cercle donneraient lieu à des simplifications qu'il serait utile de ne pas négliger.

Nous reconnaîtrons d'abord que lorsqu'un cercle amc, fig. 284, pi. 55, est incliné d'une manière quelconque par rapport à un plan p, la projection sur ce plan est toujours une ellipse.

En effet, on sait que lorsqu'un cercle et une ellipse ont un

diamètre commun ac, les ordonnées de l'elhpse sont aux ordonnées correspondantes du cercle comme le deuxième axe de l'ellipse est au rayon du cercle. Et réciproquement, lorsque la relation que nojus venons de citer a Ifeuy la courbe est une ellipse. Or, c'est précisément ce qui arrive lorsqu'un cercle est projeté obliquement ; car les triangles rectangles mvn, m'v'n' étant semblables, on doit avoir la proportion mv : vn=zm'v' : v'n\ ce qu'il fallait démontrer. Ainsi la courbe anc est une ellipse.

546. On doit encore remarquer que si Ton projetait tous les diamètres du cercle, les droites que l'on obtiendrait pour ces projections seraient d'autant plus courtes que les diamètres projetés s'approcheraient davantage de la perpendiculaire au plan ; de sorte que si le point v est le centre du cercle amc, la droite vn, projection de vm, serait le rayon le plus court de Tellipse anc\ tandis qu'au contraire, le diamètre ac^ parallèle au plan de projection ou situé dans ce plan, se projetterait dans sa véritable grandeur, et serait par conséquent le grand axe de l'ellipse dont vn serait le petit axe.

547. Supposons actuellement que Ton veuille projeter^ flg. 285, un cylindre circulaire incliné par rapport aux deux 'plans de projeotion ; que les droites ac, a'& soient les deux projections de l'axe de ce cylindre, et que le rayon de sa base soit connu.

Le moyen le plus simple sera de construire, flg. 286, une projection auxiliaire sur un plan vertical k'V parallèle à l'axe et par conséquent à la direction du cylindre demandé.

On fera s'a" égal à sa' et zV égal à zc', de sorte que la droite a"c" sera la projection de Taxe ac, a'd sur le nouveau plan de projection A'Z'; le rayon m"c" étant . donné par la question, les deux droites m"x" ^ m'^V, perpendiculaires sur aV seront les projections des deux bases, le rectangle m"x"x"'m'" sera la projection du cylindre sur le plan vertical AT.