ire méthode. Soient, fig. 239, pi. 56,'AA' et BB

les deux cylindres dont on demande l'intersection. Par un point quelconque (m, ??/), on construira deux droites parallèles aux génératrices des cylindres donnés ; ces deux droites détermineront (507) un plan p qui coupera le cylindre AA' suivant deux de ses génératrices désignées sur l'épure par (a, a). Le même plan coupera le cylindre BB' suivant deux génératrices [b^ b). Or, ces quatre lignes étant dans un même

. plan, donneront par leurs intersections quatre points (w, w, Uy u) appartenant à la courbe cherchée.

On obtiendra les projections verticales de ces points, en \projelant les génératrices qui'Jes contiennent.

Un second plan parallèle au plan p, et par conséquent parallèle aux deux cylindres, déterminera quatre nouveaux points.

Un troisième plan en donnera quatre autres, et ainsi de suite.

On continuera ces opérations jusqu'à ce que l'on ait obtenu un nombre de points suffisants pour que Ton puisse tracer la courbe avec beaucoup d'exactUude.

561. 11 ne. faut pas établir dei suite sur l'épure un trop grand nombre de plans coupants. On fera bien, au contraire, de commencer par la recherche de quelques points essentiels, de ceux surtout qui, par leur position, pourraient donner une première idée de la forme de la courbe. On chercherait ensuite des points intermédiaires dans les parties où la courbure deviendrait plus sensible. On devra surtout ne pas négliger les points où la courbe cherchée doit occuper les génératrices principales. '

Pour avoir les points qui appartiennent aux limites des projections verticales et horizontales des deux cylindres, on emploiera les plans coupants dont les traces passent par les pieds des génératrices qui forment ces limites.

Les plans tangents p', p'', parallèles aux deux cylindres, délermineront aussi ties points très-importants.

Ainsi, par exemple, le plan p', qui touche en b' la trace horizontale du cylindre B, déterminera les points u\ u' suivant lesquels la courbe cherchée est touchée par les génératrices a', a' du cylindre B. "

De même Je plan p^\ qui touche en a^^ la trace horizontale du cylindre A, déterminera les points w^^ u'^suivant lesquels la courbe demandée est touchée par les génératrices M, V du cylindre B.

562. 11 n'est pas nécessaire de construire de plan coupant hors de Tespace compris entre les plans p' et p" dont les

traces touchent celles des cylindres donnés, car il est évident que tout plan hors de cet espace couperait l'un des cylindres sans toucher ni couper l'autre, et par conséquent ne contiendrait pas de points communs. Lorsque la courbe sera entièrement obtenue, on regardera comme vu, tout point provenant de l'intersection de deux génératrices vues (487). Tous les autres points sont cachés, et l'on tracera en ligne pleine toute la partie de la courbe qui contient les points vus, ^t le reste en ligne ponctuée.

663;' Tangentes à la courbe d' intersection. Lorsqu'il y aura incertitude sur la direction de quelque partie de la courbe, on Ja fera cesser en construisant une tangente. Pour y parvenir, on remarquera que cette ligne devant être tangente aux deux cylindres, il faut, par conséquent, qu'elle soit située en même temps dans les plans tangents à ces deux surfaces, d'où il résulte qu'elle doit être Tintersection de ces plans ; ainsi, par exemple, la droite a'"v est la trace horizontale du plan qui touche le cylindre A dans toute l'étendue de la génératrice a'^'u.

Ensuite, vb^" est la trace du plan vertical qui touche le cylindre B suivant la génératrice b'"u.

Le point v, intersection de ces deux traces, fera donc partie de la tangente dont la projection verticale sera v'w.

L'un des plans tangents étant vertical, la projection horizontale de la tangente doit se confondre avec la trace V'^v de ce plan.

11 est évident.que si les deux points tangents étaient obli- ^u^s, cela ne changerait rien à la manière d'opérer.

664. Développements. Si on veut obtenir la courbe d'intersection sur les surfaces des deux cylindres, il faudra projeter chacun d'eux sur un plan parallèle à ses génératrices, fig. 296 €t 296, puis on construira la section droite et les développements A*'' et B*^, en opérant comme nous l'avons fait au no 502.

Il sera très-essentiel de s'assurer que tous les points correspondants des deux cylindres et de la coHrbe d'intersection

sont à la même hauteur sur les trois projections verticale» A'B, A//etB^ . •

Pour construire la tangente vu, vV, sur le développement du cylindre A, on construira le triangle qui a pour côté:

1° a'^'v trace horizontale de l'un des deux plans tangents;

2° a"'u génératrice de tangence projetée, ûg. 296» dans sa véritable longueur;

3° La tangente vu, dont la longueur v''u est donnée sur la projection B'^

On raisonnera de la même manière pour construire la tan« gente sur le développement du cylindre B.

Si la tangente n'était pas parallèle à l'un des plans de projection, on chercherait sa longueur par le moyen ordinaire.

565. Quelquefois l'un des cylindres pénètre dans Tautre, et s'y trouve entièrement engagé; alors l'intersection se compose de deux courbes séparées, l'une d'entrée et l'autre de sortie, comme on le voit, flg. 290 ; dans ce cas, on dit qu'il y a pénétration (302). Mais si Fun des deux cylindres n'était pas tout à fait engagé dans l'autre, l'intersection se nommerait arrachement^ fig^.288.

Dans la question que nous venons de résoudre, il y avait arrachement.

566. Il est facile de prévoir, avant la construction de répurè, quand il doit y avoir arrachement ou pf^nétration.

Ainsi, dans le cas représenté, flgr. 291, il y aura pénétration. En effet, le cylindre B étant compris entièrement entre les deux plans p' et p^\ il est évident que toutes les générs^ triées de ce cylindre rencontreront la surface du cylindre A.

Tandis que sur la figure 287, on voit par la disposition des deux plans p' et p// que les génératrices du cylindre A, qui ont leurs pieds sur l'arc aa', ne rencontreront pas le cylindre B, tandis que les génératrices du cylindre B, qui ont leurs pieds sur l'arc bb\ ne rencontreront pas le cylindre A.

Enfin on peut dire, en général, que si les deux plans coupants extrêmes p' et p'', tig. 291, sont tangents à la trace

du même cylindre, il y aura pénétration ; et dans le cas contraire, il doit y avoir arrachement.

667. Pour tracer les courbes de pénétration sur les cylindres donnés, fîg. 292 et 293, on enveloppera sur ces corps les figures A"" et B'^.

568. Limites des courbes d'intersection. Lorsque l'on construit la courbe d'intersection de deux surfaces, on peut se proposer d'obtenir le point le plus près ou le plu» éloigné d'un plan donné.

Ainsi, par , exemple,' flg. 2 et 4, pi. 57, les cylindres B et G étant donnés par leurs traces et par leurs directions, on construira le plan P parallèle à ces deux cylindres, et les plans coupants Pj P, P3 etc., parallèles au plan P, détermineront autant de points que l'on voudra sur la courbe d'intersection.

Or, si l'on veut déterminer le point le plus élevé de cette courbe, on pourra opérer de la manière suivante.