Première méthode
1<» On cherchera quelle peut être approximativement la position du point le plus élevé, et Ton déterminera trois ou quatre points dans le voisinage de celui que l'on cherche.
On fera en sorte qu'il y en ait au moins un au delà. Supposons, par exemple, que l'on ait déterminé les points 1,2 et 3;
2** On construira les traces horizontales des plans V^ V; et V, des plans qui touchent le cylindre B aux points 1, 2 et 3;
3» On construira également les traces horizontales ¥< Y, Y, des plans qui touchent le cylindre C suivant les mêmes points;
4« On choisira, fig. 3, un point quelconque M, que l'on peut supposer situé où l'on voudra dans-l'espace;
5*» On tracera par le point M de la figure 3 les droites V, V, t?5 parallèles aux traces horizontales V^ V, V, des trois plans tangents aux points 1, 2 et 3 du cylindre BB';
6<» On tracera également par le point M de la figure 3 les droites y^ y, 2/3 parallèles aux traces horizontales Y^ Y, Y. des trois plans tangents aux points 1,2 et 3 du cylindre CC';
^ft. SURFACES PL, 67i
V On ouvrira le compas d'une quantité quelconque Mw, et . l'on j:)ortera cette distance une foissnr éhacune des droites v^ et ^/^ deuœ fois sur chacune des droites v, 2/2 ^t '^^'^ A^^^ sur chacune des droites v, et 2/3.
8" On tracera les deux courbes uv^ u'v' qui se couperont en un point 0 que l'on joindra avec le point M.
9*' La droite MO sera parallèle aux traces des deux plans tangents V4 et ï^ qui contiennent le point 4 qui est le plus ékvé de la courbe de pénétration.
En effet, de la loi suivant laquelle ces courbes uv et u'v' de la figure 3 ont été tracées, il résulte évidemment que, si l'on prend sur ces courbes deux points ^ ^\.z[ à égale distance du point M, les droites M^ et M^' seront parallèles aux traces horizontales des deux plans qui toucheront les cylindres donnés en un même point de la courbe d'intersection, ce qui sera encore vrai pour les deux plans tangents, dont les traces horizontales seront parallèles à la droite MO ^ mais alors ces deux Iraces seront parallèles, et leur intersection, tangente au point correspondant de la courbe cherchée, étant horizoplale, ce point sera évidemment le plus élevé de la courbe d'intersection des deux cylindres (529).
On. déterminera de la même manière le point le plus bas aip^i flue le point le plus élevé sur toutes les courbes de pénétrations ou sur les diverses parties des courbes d'arrachements.
570. Les deux courbes uv, u'v^ peuvent être tracées d'une infinité de manières, pourvu que les distances sur les droites désiîi^iiées par le même cbiflte soient égales entre elles, ce qui p^rn?et,lra toujours d'obtenir le point 0 par une bonne intersection.
571. Deuxième méthode. Le moyen que nous venons d'indiquer n'est pas général et ne peut servir que pour détermioer le point le plus élevé et le plus bas de la courbe de pénétration, car il est évident que, si l'on voulait employer la mê?ne méthode pour obtenir le point le plus près ou le plus éloigné du plan vertical de projection, il faudrait connaître les traces verticales des cylindres ; et pour le point le
PL. 57. CYLÎNDBtOtJES. 27^
plus près ou le plus éloigné d'un plan quelconque, il faudrait construire les interseciions des deux cylindres par ce plan, ce qui serait fort long. ^
Or la question qui nous occupe peut être résolue d'une manière générale par la méthode suivante :
1» Lorsque Ton aura déterminé un certain nombre de points de la courbe cherchée, on construira une tangente par chacun de ces points;
2*» On transportera toutes ces tangentes en iwi point quelconque SS' de l'espace, figr. 5'et l;
3* On obtiendra ainsi une surface conique dont chaque génératrice sera parallèle à Tune des tangerites de la courbe de pénétration des deux cylindres donnés;
4** On coupera cette surface conique, figr. 5, par un plan Pg que l'on pourra choisir à volonté, et par conséquent perpendiculaire à l'un des plans de projection;
5° La courbe plane ii'v\ fîg. 1, qui résulte de la section par le plan ?« de la figure 5, pourra être prise pour directrice de la surface conique qui a pour sommet le point SS', flg. 5 et 1;
6° Ce qui précède étant admis, si l'on veut avoir le point le plus près ou le plus éloigne d'un plan quelconque P^, flg. 6, on coupera la surface conique qui est projetée sur les figures 6 et 1, par un plan parallèle au plan P^ et passant par le sommet SS'. Toutes les génératrices de section que l'on obtiendra seront parallèles aux tangentes qui contiennent les points de la courbe cherchée qui sont les plus près ou les plus éloignés du plan donné P7, flg. 6;
7« Il ne restera donc plus qu'à construire les plans tangents aux deux cylindres, parallèlement à chacune des génératrices provenant de la section du cône SS' par le plan parallèle à P7. Pour ne pas surcharger l'épure on n'a pas exécuté cette partie de l'opération qui d'ailleurs ne présente aucune difficulté si l'on efface Ipslignes de construction à mesure que lés résultats sont obtenus.
572. On n'a conservé ici que les constructions nécessaires pour déterminer par cette seconde méthode le point le plus élevé de la courbe de pénétration ; ainsi :
278 SURFACKS PL. 58.
1** La tangente au point cherché devant être horizontale, on a coupé le cône auxiliaire par le plan horizontal Pg q^ii contient le sommet SS' de ce cône;
2« La génératrice S-4 que l'on obtient, flg. 5, est parallèle à la tangente T4 qui contient le point le plus élevée et par conséquent' aux traces horizontales V4 et Y4 des deux plans tangents qui se coupent suivant cette tangente.
Les g(^nératrices désignées sur les deux cylindres par le no 4 se coupgit suivant le point cherché.
573, 11 est évident que si l'on veut se contenter du point le plus élevé de la courbe de pénétration, il suffira de construire trois ou quatre tangentes dans le voisinage du point demandé. •
Pour obtenir ces tangentes on pourra- construire lés traces verticales des plans tangents correspondants ; mais pour ne pas embarrasser Tépure on a effacé ces traces, excepté à l'endroit où elles coupent le cadre.
On a cependant conservé entièrement les traces verticales des deux plans tangents V« et Y4 qui contiennent le point demandé.
574. Courbes dressais. Pour résoudre la question précédente, nous avons fait -usage, flg. 3, de courbes telles que uVj t/'t;',que l'on nomme quelquefois courbes d'erreurs, mais qui seraient plus oonvenablement désignées par le nom de courbes d'essais ; car il n'y a aucune erreur dans la construction de ces courbes, qui satisfont toujours très-exactement à la loi de leur définition.
C'est donc le nom de courbes d'essais que nous emploierons toutes les fois que nous jugerons utile de construire ces sortes de lignes.
L*usage des courbes d'essais est extrêmement fécond et donne la solution d'un grand nombre de problèmes qui sans cela ne pourraient être résolus que par des calculs algébriques très-pénibles, et qui, quoique vrais en théorie, seraient souvent inapplicables dans la pratique.
