Raccordement de deux cylindres

On dit, en général, que deux surfaces se raccordenl lorsque Tune d*elles devient le prolongement de l'autre, et qu'elles paraissent ne former ensemble qu'une seule et même surface.

Or cette condition sera évidemment remplie, si les deux surfaces ont les mêmes plans tangents dans toute l'étendue de la ligne de raccordement.

Ainsi, par exemple, si deux surfaces cylindriques parailèles, flg. 303, avaient pour directrices les arcs aco, ovu qui se touchent au point o, il est évident que ces deux cylindres se raccorderaient, puisqu'ils seraient touchés tous les deux par un même plan qui contiendrait la génératrice oSy et qui aurait pour trace horizontale la droite pp tangente aux traces des deux cylindres. La droite os serait la génératrice de raccordement.

584. On rencontre dans l'architecture de fréquents exemples de ces raccordements de cylindres.

La- surface de la moulure projetée, flgr. 301 et 302, se compose de deux portions de cylindres circulaires ayant pour directrices les arcs de cercle ao, oc ; ces deux cylindres se touchent et sont touchés suivant toute l'étendue de la génératrice commune oo' par un même plan pq perpendiculaireau plan vertical de projection.

Une deuxième moulure, égale à la première, la rencontre à angle droit, suivant une courbe plane et verticale qui a pour projection horizontale la droite t'a', fig. 680.

585. Problème. Question proposée en 1853 pour le concours d admission à V École des beaux^arts. Étant donnés^

pl. 59, ûg. 4, le plan P et la droite OK, située dans ce plan, on demande: !<> de construire les projections de trois cylindres circulaires de même rayon, ayant pour axes, la droite donnée OK, une seconde droite OL, perpendiculaire sur OK et située dans le plan P ; enfln, une troisième droite OU perpendiculaire sur les deux premières et passant par leur point d'intersection.

On sait (580) que si deux cylindres circulaires ont des .rayons égaux, et que leurs axes se rencontrent, les courbes de pénétration seront deux ellipses.

Or, flg. 2, une sphère qui aurait le même rayon que les cylindres demandés, et dont le centre coïnciderait avec le point commun aux trois axes, serait évidemment inscrite dans les trois cylindres; et si Ton circonscrit à cette sphère 111} cube dont les arêtes soient parallèles aux cylindres, les «ections du cube par les six plans diagonaux seront les rectangles circonscrits aux six ellipses provenant des intersections des trois cylindres combinée deux à deux ; de sorte que tout se r(''duit 'à la projection oblique d'un cube dont les arêtes opposées déterminent les six parallélogrammes coujugués des ellipses demandées.

La figure 1 indique la disposition de l'épure ; ainsi le plan P ^tant déterminé par sa trace horizontale et par Tangle Z'K'P, qui exprime son inclinaison, on projettera le point 0 de la droite OK sur un plan vertical de projection AT, perpendiculaire à la trace horizontale ZK du plan P.

Ce dernier plan étant rabattu en tournant autour de sa trace horizontale ZK, le point 0 viendra se placer çn 0'', et la droite donnée OK, O'K' se rabattra en 0^'K.

La droite O'^L, perpendiculaire sur 0^'K, sera l'axe du second cylindre, et Taxe du troisième cylindre se projettera par le point 0'^ sur le plan P rabattu.

Le cercle décrit du point 0'^ comme centre, avec le rayon donné pour chacun des trois cylindres, sera la projection de l'un d'eux sur le plan P; et le carré X^WG^^lf sera la projection du cube circonscrit à la sphère qui est enveloppée par les trois cylindres.

Cela étant fait, on projettera le cube sur le plan auxiliaire A'Z', d'où on déduira sa projection horizontale.

PL. 59. CYLINDBIQUES. 283

Lorsque la projection horizontale do cube sera complète, il sera facile de construire toutes les ellipses de pénétration, puisque Ton connaît les diamètres conjugués de chacune

d'elles.

Supposons, par exemple, flg. 4, que Ton veut construire Vellipse* inscrite dans le parallélogramme, qui a pour côtés opposés les deux arêtes AB'et HG du cube ; on tracera: l*les deux droites' AH et B6, ce qui complétera le périmètre du parallélogramme conjugué de l'ellipse demandc^e A-œ-^-y ; 2* on déterminera le milieu de chacun des côtés de ce parallélogramme, et les droites 4-6 et xy seront les deux diamètres conjugués de l'ellipse, que l'on tracera par le moyen donné au m 395 ou bien en construisant les axes, comme nous l'avons dit au n* 396.

Pour diminuer la confusion sur les figures 4 et 7, on a

distingué par une teinte de points les deux ellipses prove-

- nant de la rencontre des cylindres M et N. Ces ellipses sont

projetées sur la figure 3 par les diagonales du carré k^^W'CW.

Les quatre autres ellipses sont indiquées par un simple trait sur les figures 4 et 6. Les parties vues de ces ellipses sont en lignes pleines ; les parties réelles cachées en points mixtes, et le^ parties supprimées par le passage des cylindres en points ronds.

On peut obtenir une très-grande exactitude dans le résultat, en déterminant d'avance sur les trois projections, fLg. 3, 7 et 4, les quatorze points de vérification que nous allons indiquer.

D'abord, les points 1 et 2, projetés en un seul sur la figure 3, sont situés à la rencontre des deux ellipses désignées par des teintes ponctuées sur les figures 4 et 7. Ces points seront déterminés sur la figure 7 en faisant les dis tances O'-l et 0'-2, égales chacune au rayon de la sphère inscrite dans les trois cylindres.

Les points 3 et 5 proviennent de la rencontre des deux ellipses suivant lesquelles se pénètrent les cylindres M et V. Ces deux points, situés dans le plan P, seront projetés, ûg. 7, sur la trace du plan P, d'où il sera facile d'obtenir leurs projections horizontales, fig. 4.

11 en sera de même des points 3 et 6, suivant lesquels se

coupent les deux ellipses provenant de la pénétration des cylindres N et V.

Indépendamment des six points dont nous venons de parler, et par chacun desquels passent deux des six ellipses cherchées, il existe encore huit points suivant lesquels les mêmes ellipses se rencontrent 3 à 3.

Ces huit points sont déterminés sur la figure 3 par la rencontre des diagonales du carré A'^D'^C'^B'" avec la circonférence du cercle, dont la surface teintée en hachure est la section droite du cylindre V.

La perpendiculaire abaissée sur la droite k'V par la projection commune des points 7 et 8 de la figure 3 déterminera le point m que l'on ramènera en m' par un arc de cercle dé^ crit du point K' comme centre ; et la perpendiculaire élevée •par ce point m' sur la trace K'H' du plan P, flg. 7, contîen- / dra les projecttons correspondantes des points 7 et 8, que l'ott obtiendra en faisant m'-l et m'- 8, égales chacune à la perpendiculaire abaissée du point 7, 8surrun des rayons 0^-3 ou 0''-6 de la figure 3.

En opérant de la même manière, on déterminera sur la figure 7 les projections des points 9, 10, 11, 12, 1 3 et 14.

On remarquera que sur la figure 7 les huit points 7, 9, 13, 11 et 8, 10, 14, 12 appartiennent â deux plans parallèles au plan P et distants de ce ptan d'une quantité m'-7 = tn'-B, égale au demi-côté du carré inscrit dans le cercle teinté de la figure 3.

On remarquera encore, sur la figure 7, que les points B',7, 0',12,H' sont en ligne droite, ce qui provient de ce qu'ils sont situés sur Tune des diagonales du cube.

Pour la même raison, les points 8 et II appartiennent à la diagonale D'F'.

Les points 10 et 13 sont situés sur la diagonale CE', et les points 9 et 14 sur la diagonale A^G'.

Toutes ces lignes n'ont pas été conservées, mais en les traçant au crayon, ou simplement en appliquant la règle, on pourra s'assurer que les opérations ont été bien faites.

Enfin, les points 1, 2, 3, 4, 5 et 6 sont situés chacun au centre de Tune des faces du cube, et pourraient par conséquent être déterminés ou vérifiés en construisant les diago-

nales de cette face sur les Dgures 4 et 7. Ainsi le point 3 de la figure 4 sera Tintersectionr des deux diagonales du parallélogramme ABFE, et le point 2 sera déterminé par les diagonales du parallélogramme HGFE, de ^orte que les huit points 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 et 14, par chacun desquels passent trois ellipses, appartiennent aux diagonales du cube, et les six points 1,2, 3, 4, 5, 6, par lesquels ne passent que deux ellipse s, sont situés sur les .diagonales des faces.

Toutes ces lignes, qui n'ont pas été conservées, sont tangentes aux ellipses correspondantes, et peuvent contribuer par conséquent à l'exactitude de leur construction.

586. Ainsi, indépendamment de tous les points que Ion pourra obtenir par la méthode des diamètres conjugués, on aura pour chaque ellipse six points de v^Tification et huit tangentes, savoir : les quatre côtés du parallélogramme conjugué formfe par les arêtes opposées du cube, et par les droites qui joignent deux à deux le& extrémités de ces arê'tes ; puis les quatre génératrices qui limitent les projections des deux cylindres dojat l'ellipse cherchée est l'intersection.

687. La figure 6 est la perspective du volume compris entre les cylindres M et N, et la figure 5 représente le volume compris entre les trois cylifl*esw

Les parties désignées sur ces deux figures par la lettre m appartiennent à la surface du cylindre M ; les parties désignées par n appartiennent au cylindre N ; enfin, les lettres v indiquent les parties qui appartiennent au cylindre V.