AN X NU : AN' X N'U =*MN* : FF

donc, puisque les rectangles formés par deux segments quelconques du diamètre AU sont entré eux comme les quarrés des ordonnées correspondantes MN et M'N^ la courbe AMM'UFI est une ellipse (628).

629. Tout ce que nous venons de dire est applicable au cylindre elliptique, flg. 7 ; la coïncidence des lettres sur le& deux figures 6 et 7 nous dispensera de répéter ia démonstration.

630. Les cordes Ml, M'I', flg. 6, étant conjuguées avec le diamètre AU, la tangente AT sera parallèle à ces cordes ; mais si l'on -fait tourner le plan coupant P autour de la tangente AT, de manière que le point U s'éloigne du sommet S du cône^ il y aura un moment où le point U sera situé à l'infini ; alors le plan P ne rencontrera plus la génératrice SH qui, dans ce cas, sera parallèle au diamètre AU, et la courbe ne sera plus fermée. Or, dans ce cas, ilg. 12, on aura NC = N'C'.

L'équation (4) deviendra

WilW^r^ztBNiBW; (6)

mais les triangles semblables, ANB, AN^'B', donnent la proportion

BN : WW = AN : AN^ (7)

multipliant (6) par (7) et réduisant, on obtient

MNMiPN'* = AN:AN'; (8)

d'où Ton doit conclure que la courbe de section est une parabole, puisque Ton sait que dans toute parabole rapportée & des axes conjugués, flg. 13, les quarrés de deux ordonnées quelconques, MN, M'N', sont entre e\i\ comme les absdssea correspondantes, AN, AN' (Algèb. appL).

631. Si l'on continuait à faire tourner le plan coupant autour de la tangente AT, flg. 12 et 6, le point U se porterait

jt 64. coK/wms. 8M

sur SV prolongement de Sfl, le plan P couperait alors les deux nappes du cône et la courbe de section serait une hyperbole ; ce que Ton pourrait démontrer en raisonnant comme nous Tavons fait pour l'ellipse figure 8.

632. Pour résumer, supposons que le triangle SHK, ftir. 6, soit la projection d'un cône elliptique quelconque, dont la seconde nappe serait SH'K'. Si Ton coupe ce cône par des plans P Pf ou Pt on obtiendra une ellipse lorsque l'angle KÂU sera plus grand que ÂSD ; on aura une parabole quand l'angle KAU' sera égal à ÂSU. Enfin, la courbe de section sera une hyperbole lorsque l'angle KAU'' sera plus petit que ASU ; parce que, dans ce cas, le plan coupera les deux nappes du cône.

Les projections et les rabattements des trois courbes pourront être obtenus en opérant comme nous Tavons dit au n<» 131. Ainsi, les figures 1^ 2 et^3 contiennent les opérations et la disposition d'épuré la .plus convenable pour obtenir une . section elliptique du cône ; les figures 9, 10 et 11 contiennent les projections et le rabattement de la section parabolique, et sur les figures 14, 15 et 16, on s'est proposé de construire les projections et le rabattement d'une section hyperbolique.

Pour déterminer le point m sur la projection horizontale de la parabole, fig. 10, on rabattra la génératrice S'a en S'a'', le point m' de la figure 9 viendra se projeter en w"» d'où on déduira tn'", qui, ramené à sa place, donne m pour le point demandé.

On agira de même pour obtenir le point n, et les points situés sur les génératrices dont les projections seraient coupées trop obliquement par les perpendiculaires à la ligne AZ.

633. Il peut être utile, dans certains cas, de construire les asymptotes de l'hyperbole. On devra se rappeler alors que ces droites sont les limites des tangentes à la courbe, c'està-dire qu'une tangente qui tournerait autour de l'hyperbole, eu prenant toutes les directions possibles, se confondrait aveo l'une des asymptotes au moment ou le point de tangence serait arrivé à l'infini (386).

30S BVftFAGBS N*. 64.

La question sera donc réduite à faire passer par le centre de rhyperbole deux tangentes à cette courbe.

Voici l'ordre des opérations :

1" Les droites a' a, a' a perpendiculaires à la ligue AZ, détermineront sur les généralrices SK et SH les deux points a, a^ extrémités du diamètre aa.

2'' Le point cd, milieu du diamètre aa, sera le centre de l'hyperbole.

3' La droite Scu, S'c'w' sera Tintersection de deux plans tangents au cône et passant par le point cd (611).

4* Les droites umP, tangentes à la trace du cône, seront les traces des deux plans tangents P^P^

5" Enfin les droites en, en, intersections de ces deux plans tangents avec le plan coupant P seront les asymptotes demandées. Car elles sont tangentes à Thyperbole, puisqu'elles sont les intersections du plan coupant avec les plans tangents qui contiennent le point cd ; et puisqu'elles passent par le centre de rhyperbole, elles coïncideront avec les asymptotes de cette courbe.

634. Il faut ajouter, comme cas pai^ticulier des courbes , précédentes, les sections du cône par un plan -qui contiendrait le sommet.

Si nous supposons, par exemple, que le plan P, figr- 8, tourne autour de l'horizontale projetante du point SS', il faudra distinguer trois cas :

1** Si l'angle KSP, est plus grand que KSH, la section sera un 'poini que l'on pourra considérer comme une ellipse dont les axes seraient égaux à zéro.

' 2^ Si l'angle KSP4 était égal à KSH, le plan toucherait le cône suivant la génératrice SH, qui remplacerait alors la courbe de section, que l'on pourrait considérer comme une parabole dont les deux branches se seraient rapprochées.

\ 3** Enfin, si l'angle KSP5 était plus petit que KSH, le plan couperait le cône suivant deux génératrices que Ton pourrait 'considérer comme une hyperbole coïncidant avec ses asymptotes, parce que la distance du centre au sommet de la courbe serait égale à zéro.

635. Cette dernière considération donne un deuxième moyen de construire Jes asymptotes de l'hyperbole. -

En efiety admettons, ce qui est démontré dans tous les traités de Géométrie, que ^î on coupe un cône par un des plans pa/rallèleSy toutes les courbes de section seront semblables. .

II en résulte que si, par le sommet du cône projeté, flg. IS et 16, nous faisons passer un plan P^ parallèle au pl,an P, les deux génératrices Sm pourront être considérées comme forpiant une hyperbole semblable à celle qui résulte de la section du cône par le plan P, ces deux courbes ne différant^ comme nous Tavons dit, que par la distance du centre au sommet.

Or, la section par le plan Pg donne l'angle que les asymptotes font entre elles, et puisque l'on connaît le centre ce' de l'hyperbole qui résulte de la section par le plan P, il sera facile de construire les asymptotes en de cette dernière courbe.

636. Section elliptique du cône. Parmi les trois courbes que l'on obtient en coupant un cône du deuxième degré par un plan, la plus importante est l'ellipse, que l'on retrouve à chaque pas dans les applications de la géométrie descriptive. Mais, de toutes les manières de construire une ellipse, la plus simple et la plus exacte est la construction par les axes (396) ou au moins par les diamètres conjugués (39f5).

Or les deux tangentes m''m"' et n'' n"', flg. 3, étant parallèles, la droite ww^ qui joint les points dé langence, est un diamètre, et le point o, milieu- de ce diamètre, sera le centre de Teliipse. Par conséquent, si du point o comme centre on décrit l'arc de cercle vu, le milieu c de cet arc sera situé sur le grand axe, que Ton obtiendra en traçant la droite oK perpendiculaire sur la corde de l'arc vu, ' Le moyen que nous venons d'indiquer ne réussit pas toujours parce que l'arc de cercle coupe souvent la courbe suivant des angles trop aigus, et que d'ailleurs l'exactitude du résultat dépend de la courbe elle-même, qui n'est pas toujours déterminée avec une précision suffisante. II serait donc très-utile que l'on pût obtenir les axes ou au moins les diamètres conjugués avant la construction de l'ellipse.

637. Supposons, pi. 65, qu'un cône elliptique soit donné; par ses projections horizontale et verticale, flg. 7 et 2, on veut obtenir la section de ce cône par le plan P* On déterminera d'abord le point le plus élevé m etle point le plus basn, en construisant les deux plans tangents dont les traces bori- «ontales P| et P^ sont parallèles à la trace horizontale du plan P. Les tangentes 2^ et vu seront parallèles à la traœ horizontale dû plan P et formeront deux côtés du parallélogramme conjugué vuzx. La droite mn^ qui joint les deux points de tangence r/i etn, sera un diamètre de l'ellipse, et le conjugué ac de ce diamètre sera parallèle aux tai^entes isx et vu. Il ne reste donc plus qu'à déterminer les deux points a et c.

Pour y parvenir, on tracera la droite SO, îi'0^ dont on construira la trace horizontale 0, qu'il ne faut pas confondre avec le centre D de l'ellipse qui forme la trace horizontale du cône. La corde AC, parallèle à ac, donnera les deux points A^ Cv et par suite, les génératrices SA et SC, dont les intersections javec la droite horizontale ea dét^rmioeront les estirômités a et c du diamètre ac, conjugué de mn.

J'ai indiqué sur l'épure quelques-unes des vériflealiions les plus remarquables. Ainsi :

1** Le parallélogramme conjugué vuzr est la section par le plan P de la pyramide quadrangulaire circonscrite au cône et qui aurait pour base le quadrilatère ZXUV formé par les tangentes aux points, A, M, C, N delà base du cône.

2° Les droites rrw, mn, zv et XC, MN, ZV se rencontrent deux à deux sur la trace horizontale du plan P.

3** Enfin, les ,droites XU, MN et ZV concourent en dehors du cadre, vers le point suivant lequel le plan horizontal de projection est percé par l'a droite SK, S'K' menée par le sommet du cône parallèlement à la droite mn, et par conséquent^ aux côtés XU et zv du parallélogramme conjugué.

Si Ton débarrasse l'épure de toutes les lignes de vérification qui ne, sont conservées ici que comme études, le travail graphique devient excessivement simple.

Lorsqu'on aura obtenu les diamètres conjugués ao, mn, on pourra construire l'ellipse, en opérant comme nous Tavons

<lit au m 395, ou, si Ton préfère, on déterminera les axes par le moyen indiqué au n° 396.

Ce que nous venons de dire est également applicable à la section plane du cylindre elliptique projeté sur les figures 12 et 4.

638. Cône circulaire. Les figures 1 et 13 contiennent les applications du principe précédent aux sections planes du cylindre et du cône circulaires, qui ne sont que des cas particuliers parmi les cônes et cylindres elliptiques. .Mais il ne faut pas oublier que, dans la pratique, le cône et le cylindre circulaires sont employés bien plus souvent que les cylindres ou les cônes qui ont pour directrices d'autres courbes. C'est pourquoi je crois utile d'ajouter encore quelques développements aux éludes précédentes.

Soit, fîg. 6, la perspective d'un cône circulaire coupé obliquement par un plan P. La courbe ÂMU étant la ligne de section, concevons deux sphères inscrites dans le cône et tangentes au plan P, l'une au point F et l'autre au point F'. La première sphère sera touchée par le cône, suivant le cercle KIH, et la seconde suivant le cercle BOC. Ces deux cercles seront parallèles ei leurs plans P, et P, seront perpendiculaires à l'axe SK du cône.

Cela étant admis, concevons la génératrice SO, qui rencontre la courbe de section en un point M. Traçons MF, MF', ^t rappelons-nous que si, par un point extérieur, on mène deux tangentes à une sphère,' les parties de ces tangentes comprises entre les points de tangence et le point de concours des deux tangentes seront égales. On aura donc