AF = AK = AD

Ce que nous avions déjà dit au m 374.

< 641. Si le cône circulaire, flg. 9 et 10, est coupé par un

plan P perpendiculaire au plan vertical de projection A'Z', la courbe de section se projettera sur ce plan par une ligne droite, et sur le plan horizontal par une ellipse dont il sera facile de déterminer les axes sans chercher d'abord les diamètres conjugués, comme nous l'avons fait au n» 637.

En effet, les deux points a et c seront les extrémités du grand axe dont le milieu o'o sera le centre de Tellipse. On déterminera les extrémités du petit axe en décrivant la circonférence de la section circulaire que Ton obtient en coupant le cône par un plan horizontal P^ mené par le centre oo' de l'ellipse de section.

La figure 8 est la courbe elle-même rabattue en tournant autour de la trace horizontale du plan P.

La droite a' m, bissectrice de Tangle S'aV, rencontrera l'axe du cône en un point w, qui sera le centre de la sphère inscrite, et la droite mF, perpendiculaire sur le plan P, déterminera en F l'un des foyers de la courbe de section. On pourra obtenir le second foyer en obérant de la même manière ou en faisant c'F' = a'F'. Ces foyers sont rebattus, flg. 8, avec Tellipse a V.

Il est très-essentiel de remarquer que les foyers de la projection horizontale de Tellipse de section ne sont pas sur les pei*pendicuiaires abaissées par les foyers F et F' de la courbe aV, flg. 9.

842. Frojection circulaire de l'ellipse. Si Ton décrit la demi-circonférence quia pour diamètre la droite aV égale au grand axe de Tellipse de section, si ensuite on fait la corde c'K, flg. 9, égale au petit axe vu de la même ellipse, le triangle c'Ka' sera rectangle, en K ; la corde c'K sera la projection de Thypoténuse af& ; d'où il résulte que Fellipse se projettera par un cercle sur tout plan P, qui serait perpendiculafre à la corde a% puisque, sur ce plan, la projection &k du grand axe aV de l'ellipse sera égale au petit axe vu de là même courbe, flg. 10.

Cette opération nous sera souvent utile par la suite, car

:çL, 66. CONIQUES. 309

toutes les fois que Ton devra couper un cône circulaire par une suite de plans parallèles, les ellipses que Ton obtiendra seront semblables entre elles et les projections elliptiques de toutes ces courbes seront remplacées par des cercles sur un plan quelconque de projection déterminé par les opérations précédentes. D'où il résulte que , pour la solution de certains problèn^s, il sera quelquefois utile de remplacer le cercle par une ellipse, car il est évident qu'une ellipse projetée par un cercle sera plus simple, et par conséquent plus commode, qu'un cercle incliné dont la projection serait une ellipse.

643. Lorsqu'un cône circulaire, terminé par une base perpendiculaire à son axe, est projeté sur un plan parallèle à cet axe, la projection, fig. 327, pi. 66, est un triangle isocèle sec. La circonférence tangente aux droites se, se, est la projection d'une sphère inscrite et tangente à la surface du cône, suivant une circonférence de cercle qui a pour projection la droite uu.

Enfin, les deux droites parallèles vv, vv sont les limites de la projection d'un cylindre circulaire qui touche la sphère suivant la circonférence du grand cercle qui a pour projection la droite zz, • \ ^

Les deux cercles uu, zz, situés tous deux sur la surface de la sphère, se coupent en un pomt œ qui appartient à la surface du cône, puisque le cercle uu, suivant lequel la spBère est touchée par le cône, appartient tout entier à cette dernière surface.

Si nous concevons actuellement que le cylindre et le cône soient coupés par un même plan pq, les deux courbes de section seront deux ellipses qui, ayant un axe commun aa et un point commun œ, coïncideront et ne feront, par conséquent, qu'une seule et même courbe.

Il en sera de même de la section du cylindre et du cône par un plan p'q' ; d'bù nous pouv^s conclure que les diagonales du quadrilatère aa^aa^ sont les projections de deux ellipses situées en même temps sur les surfaces du cylindre et du cône, et que nous pouvons, par conséquent, considérer comme étant les intersections de ces deux surfaces. •

Il résulte évidemment des relations que nous venons de mettre en évidence, que si on prenait un plan de projection perpendiculaire au cylindre vwv^ les deux ellipses aa, a'a' se projetteraient sur ce plan par une seule circonférence qui serait en même temps la projection du grand cercle zz, suivant lequel la sphère inscrite dans le cône est touchée par le cylindre. •

644. Projection obliqua du cône circulaire^ Si le cône dont il s'agit doit être placé obliquement, il faudra opérer de la manière suivante :

On choisira d'abord Tun des plans de projection parallèle à l'axe du cône, dont la projection sur ce plan sera le triangle isocèle ^cV, flg. 326i Pour compléter la projection sur l'autre plan, il faudrait obtenir la trace du cône ou la projection de sa base. Mais on pourrasouvenl éviter la construction de ces courbes, en employant pour directrice de la surface du cône la section par un plan pq incliné de manière que la projection de cette courbe soit une circonférence de cercle.

Cette manière de procéder sera d'autant plus commode dans les applications, que souvent, au lieu d'un cône oblique exigé par la nature de la question, on préfère employer un cône circulaire coupé obliquement. , ^

645. Pour déterminer l'inclinaison de la section a'a\ de matiière que la projection horizontale de cette courbe soit une circonférence de cercle, on prendra sur l'axe du cône un point quelconque ayant pour projections les' deux points oo\ De ces points, comme centres, on décrira deux circonférences égales, et d'un rayon tel que la circonférence décrite du point o' soit tangente aux deux droites ^V, 5'c', qui forment les limites de la projection verticale du cône.

Les deux circonférences dont nous venons* de parler sont évidemment les deux projections d'une sphère qui serait in-, scrite dans le cône proposé. On élèvera les deux perpendiculaires aa''a'^ aa^à"\ qui couperont les lignes ^d aux quatre pointsa', a'^ aVû^'^

PL. 66. CONIQUES. 31 i

Enfin, les droites a'a', a"a"y diagonales du quadrilatère a' a" a* a" seront les projections verticales de deux ellipses dont les projections horizontales se confondront avec la circonférence décrite du point o comme centre.

646. On choisira de préférence Tellipse [a/ a') pour directrice du cône, parce que ses intersections par les génératrices donnent lieu à des angles moins aigus.

Si on doutait que les deux ellipses (aV) (a'V^ dussent iie projeter par la circonférence décrite du point o, il suffira de remarquer d'abord que le diamètre aa est la projection commune des deux axes a'a', a"a" ; que, de plus, les deux ellipses ont un point commun xx' qui se projette sur la circonférence du ^rand cercle horizontal de la sphère, et que, d'ailleurs, ces deux ellipses ont pour surface projetante commune le cylindre circulaire et vertical qui touche la sphère suivant le grand cercle horizontal zzy lequel cylindre a par conséquent pour trace la circonférence décrite du point o comme centre.

Les deux tangentes sx^ sx seront les limites de la projection horizontale du cône.

Les points de tangence x, x seront déterminés par le moyen géométrique? connu, ou par la perpendiculaire x'^ abaissée du pointu?'.

647. Pour construire un point appartenant à la surface du cône et qui serai| donné par sa projection verticale m', on tracera la génératrice 5'm'. Le point n', suivant lequel cette génératrice rencontre la directrice û/a', se projettera sur le plan horizontal par T un des deux points n, n, ce qui donnera les projections horizontales des deux génératrices m, m, qui ont s'n' pour projection verticale commune.

Enfin la perpendiculaire m'm déterminera les deux points w, m qui se projettent tous deux par le point m'.

648. Base du cône. La base c'c' du cône étant un cercle incliné, sa projection horizontale sera une ellipse que nous construirons comme nous Tavons dit au n"* 548.

Le centre u étant déterminé, on fera eu égal à wV, ce qui donnera le grand axe ee de i'ellipse demandée. Les extrémités c, c du petit axe seront déterminées \par les perpendiculaires c'c, de.

649. Traces du cône. Si l'on prend pour directrice la base rabattue du cône circulaire, ou la section par un plan pq, incliné de manière que la projection soit un cercle, il sera presque toujours inutile de construire les traces du cône. Nousallonscependant, comme exercices, indiquer les moyens d'obtenir ces courbes.

650. Ellipse. Soient données, flg. 324, les deux projections d'un cône circulaire ayant pour sommet le point s, s', et pour directrice une section aa, aV, que l'on obtiendra comme nous l'avons dit au n° 494, on veut construire la trace du cône.

Nous remarquerons d'abord que cette trace doit être une ellipse, puisque le plan horizontal AZ coupe toutes lesgénératrices d'une même nappe (645), et que, d'ailleurs, l'angle œ'da' est plus grand que aVc' (632).

Les génératrices ^V, s'd percent le plan horizontal en deux points c, c, qui sont les extrémités du grand axe de l'ellipse cherchée. Le point uu\ milieu de la droite ce, sera le centre de cette courbe, et le petit axe d^d\ projeté sur la ligne AZ par un seul point u', doit être égal au double de la ligne u'e.

En effet, l'axe ^ V, perpendiculaire au plan vertical de projection, est une corde commune à l'ellipse cherchée cd^cd^ et au cercle provenant de la section du cône par le plan q'y perpendiculaire à son axe. Si donc on rabat cette dernière section sur le plan vertical qui contient Taxe du cône. Tune des extrémités de la corde e'^e'^ viendra se placer en e sur la circonférence décrite du point y comme centre avec le rayon yty ce qui déterminera la longueur de u'e moitié de e'V^ second axe de l'ellipse ce"ce" .

651. Si du pointai, comme centre, on décrit l'arc de cercle cœ^\ et que Ton construise [Géom.) le point x" suivant lequel

cet arc serait touché par la tangente sx", Tordomiée a/'a? déterminera les points œx^ et par conséquent les deux tangentes SX, SX, quixomplètent la projection horizontale du cône. * • Nous avons vu que ces points pouvaient encore être déterminés en construisant par le point s deux tangentes à la circonférence axax.

Enfin on remarquera, pour troisième vérification, que les points x^\ /r, a?, a?^ doivent être tous sur une même droite perpendiculaire à la ligne AZ (646).

. 652. Foyers. On peut obtenir ces points en opérant comme nous Vavons dit au n° 250, ou bien en faisant usage de la propriété que nous avons démontrée aux n" 638, 639 et 640. Ainsi, par exemple, si nous partageons l'angle ^cV, flg. 324, en deux parties égales par la droite cV, le point r' sera le centre d'une sphère qui toucherait en même temps le cône et le plan horizontal AZ, de sorte que le point de tangence FF' sera l'un des foyers de Fellipse.

Le second foyer sera déterminé par la droite qui partage en- deux parties égales l'angle u'ds'" .

653. Parabole La trace du cône projeté, fig. 328, sera une parabole, puisque Tangle oc'c^a' est égal à a's^c' (632)-

La courbe aa, a'a' directrice du cône, étant obtenue par la construction indiquée au n» 645, on tracera les deux tangentes SX, SX, qui forment les limites de la projection horizontale du cône.

On partagera Tangle s'c'x' en deux parties égales par la droite c'r'.

Le point r, suivant lequel cette droite rencontre Taxe s'o\ sera le centre de la sphère inscrite dans le cône et tangente au plan horizontal AZ ; de sorte que le point de tangence FF' sera le foyer de la parabole.

11 sera utile de se rappeler, comme vérification, que le point F doit être situé sur la droite vF, menée perpendiculairement, par le point v, milieu delà tangente sx.

Si l'on fait ck égal fà cF, la droite dd, perpendiculaire à sa, sera la directrice qui, avec le foyçr Fi suffira pour construire la parabole (374).

654. Hyperbole. La trace du cône projeté, fîg. 329, sera une hyperbole, puisque le plan coupant AZ rencontre les deux nappes du cône.

La courbe aa, a'a' directrice du cône étant obtenue comme précédemment, on construira les deux tangentes sxj sx^ qui forment les limites de la projection horizontale du cône.

On partagera les angles 5'c'A, 5c"Z, chacun en deux parties égales par les droites co\ cn\

Les points o', n' seront les centres de deux sphères inscrites dans le cône et tangentes au plan horizontal AZ ; de sorte que les points FF' seront les deux foyers de l'hyperbole.

Les points cc% oc" seront les sommets, et le point t/, milieu de ce, sera le centre.

De ce point, comme centre, avec un rayon égal à wF, on décrira une circonférence, et les quatre points zzzz^ suivant lesquels cette ligne rencontrera les ordonnées cz, passant par les sommets de la courbe, appartiendront aux deux asymptotes. On pourrait encore obtenir ces droites par l'un des deux moyens indiqués aux n*** 633 et 635.

Les asymptotes et le sommet étant obtenus, il sera facile de construire les deux branches de la courbe (387).

655. Intersections des cônes et des cylindres. Trouver la courbe provenant de rintersection d'un cylindre et d'un cône.

On coupera ces deux surfaces par un système de plans parallèles au cylindre et passant par le sommet; du cône. Par ce moyen, les sections dans le cône et le cylindre seront des lignes droites.

Soient, par exemple, flg. 335, pi. 67, le cylindre (A, A') et le cône (B, B') dont il faut trouver l'intersection. Construisons, par lé sommet $s du cône, la droite sc^ se' parallèle au cylindre, et faisons passer par cette droite un plan p ; ce plan sera lui-môme parallèle au cylindre et le coupera suivant les deux lignes (àa) {aa')\ de plus, il coupera le cône suivant. les deux génératrices (bb) {bb').Ov ces quatre lignes étant dans un même plan donneront, par leurs intersections, quatre points {u^u ) appartenant à la courbe demandée. Trois de ces

points sont au dessus du plan horizontal, le quatrième est au dessous.

Dn second plan, cojitenanl la droite [se, s'&)^ donnera quatre nouveaux points de la courbe.

Un troisième plan en donnera quatre autres et ainsi de suite.

On continuera ces constructions jusqu'à ce que l'on ait obtenu un nombre de points assez rapprochés pour que l'on puisse tracer la courbe.

656. On devra ici, comme dans la question du n** 561, chercher de préférence les points qui sont situés sur les génératrices qui forment les limites des projections du cylindre et du cône.

Tout plan dont la trace serait hors de Tangle formé par les traces des plans p' et p'' ne couperait pas le cône, et par conséquent ne contiendrait pas de points communs aux deux surfaces.

Dans rexemple qui nous occupe, les courbes d'intersection sont séparées et forment par conséquent pénétration.

657. Tangente à la courbe d*intersection. Si Ton veut obtenir uae tangente au point mm\ on construira : 1<» la droite vz, trace horizontale d'un, plan qui toucherait le cylindre dans toute l'étendue de la génératrice mz, m'z'.

2^ La droite vx, trace horizontale d'un second plan qui toucherait le cône dans toute retendue de la génératrice mx.m'af.

3*» La droite vw, projection horizontale de l'intersection des deux plans tangents, et par conséquent de la tangente au point mm/,

4*» La droite v'm', projection verticale de la tangente demandée.

On fera bien de construire ainsi quelques tangentes partout où il y aura incertitude sur la direction de la courbe.

Si l'on veut construire les courbes de pénétration dans leâ surfaces développées du cylindre et du cône, il faudra opérer comme nous l'avons dit aux n^' 502 et 60i.

658. On peut simplifier les opérations en plaçant, ûg. 332^ le cylindre perpendiculairement à l'un des pians de projection ; la trace du cylindre sur ce plan, devient alors la projection de la courbe, et il ne reste plus qu'à élever des perpendiculaires par les points où cette proj^tion est rencontrée par les projections des génératrices du cône.

659. Trouver la courbe provenant de Finterseclion de de\ix cônes.

On construira^ fig. 336, la droite [so, s^o') qui joint les ^ sommets des deux cônes, puis par cette droite on fera passer des plans. Chacun de ces plans contenant les deux sommet» coupera les cônes suivant des lignes droites qui, par leur intersection, donneront les points de la courbe demandée- Ainsi, par exemple, le plan p coupe le cône (A, k!) suivant deux génératrices (a, a') [a, a'), et le cône (B, B') suivant les deux lignes (è, V) (6, V). Ces quatre lignes donnent, par leurs intersections, les quatre points (jy, w'...). Deux de ces points appartiennent à la courbe de pénétration par laquelle le sommet du cône B sort du cône A ; le troisième fait partie de r intersection formée par le prolongement des nappes inférieures des deux cônes ; et le quatrième, projeté horizontalement en u\ derrière le plan vertical, appartient à la ligne u'y provenant de l'intersection des deux nappes supérieures.

660. Si l'on n'avait pas sur l'épure les sommets des cône» proposés ni le point où la droite qui contient ces sommets rencontre le plan horizontal, on pourrait couper les deux cônes par des plans parallèles aux plans de projection. Les intersections des cônes par ces plans seraient semblables aux traces, et ces courbes, faciles à construire (621), se couperaient suivant des points appartenant à l'intersection demandée.

Ce moyen s'emploie surtout avec avantage lorsque le» traces des cônes proposés sont des cercles.