CHAPITRE II. — DES SECTIONS PLANES. ïlS

points (6, 6') et (rf, «/'), dans lesquels la courbe devra toucher les arêtes en question, mais seulement en projection horizontale. En effet, quoique dans l'espace la tangente de cette courbe et l'arête du cylindre soient très-distinctes Tune de l'autre, puisqu'ici elles sont perpendiculaires, néanmoins ces droites se trouvant situées toutes deux dans le plan tangent qui est évidemment vertical pour le point (6,6'), il s'ensuit qu'elles doivent coïncider en projection horizontale; donc la tangente se trouve ici projetée sur BB", et par conséquent (n*^ 102) cette ligne doit toucher la projection horizontale de la courbe.

Observons, d'ailleurs, que les points betd étant situés sur le contour apparent de la surface relativement au plan horizontal, ils formeront les limites qui séparent la branche visible badde la branche invisible bcdj pour l'observateur qui considère cette projection.

2'^. En appliquant aussi le procédé général à la recherche des points situés sur les arêtes E'E'^ et F' F'', qui forment le contour apparent sur le plan vertical, on obtiendra les points (e, e') et {fjf)j dans lesquels la projection verticale de la courbe sera touchée par ces droites. Ce contact résulte encore de ce que la tangente de la courbe dans l'espace et l'arête du cylindre sont toutes deux dans un plan tangent qui se trouve ici perpendiculaire au plan vertical; et par conséquent la projection verticale de la tangente coïncide avec celle de l'arête du cylindre. D'ailleurs, les points e' et f seront ici les limites qui séparent la branche visible efalmlf delà branche invisible e'd'hf, pour l'observateur qui considère la projection verticale.

3^. Pour obtenir le point le plus haut et le point le plus bas de la courbe, c'està-dire ceux où sa tangente est horizontale, il faut chercher d'abord sur la base ABCD, quelle que soit sa forme, les points A et C où la tangente sera parallèle à la trace horizontale PQ du plan qui coupe le cylindre : alors, si Ton construit par le procédé général le point (a, a') de l'intersection qui sera situé sur l'arête AA", je disque la tangente en ce point se trouvera horizontale. En effet, cette tangente doit être (n® 213 ) l'intersection du plan PQR' avec le plan tangent le long de l'arête AA'': mais, par hypothèse, la trace horizontale A 9 de ce dernier plan est parallèle à PQ; donc ces deux plans ne peuvent se couper que suivant une droite parallèle à PQ , c'est-à-dire horizontale, 11 en serait de même pour l'arête CC", qui fournira un point (c, </) où la tangente de l'intersection sera encore horizontale. Ces deux points sont très-utiles à déterminer, pour tracer la courbe avec facilité et exactitude, sur les plans de projection.

240. Maintenant, construisons la tangente de l'intersection pour un point

quelconque [m^m'). Ce point se trouve sur l'arête mM; et le plan tangent du

cylindre le long de cette génératrice ayant pour trace horizontale la tangente MT

de la base, si l'on prolonge cette droite jusqu'à ce qu'elle coupe PQ et T, ce sera là

4* édie. i5

Il4 LIVKE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

un point de Tintersection du plan tangent avec le plan de la courbe, intersection qui n'est autre chose que la tangente cherchée (n° 21 3). Donc, en joignant le point de contact {m, m') qui est déjà connu, avec le point T qui se projette verticalement en T' sur la ligue de terre, on obtiendra Tm et Vm' pour les projections de la tangente demandée.

241 . Rabattement. Pour obtenir l'intersection dans sa véritable forme, rabattons le plan PQR' sur le plan horizontal, en faisant tourner le premier autour de sa trace PQ ; puis, cherchons ce que devient alors le point quelconque (m, m') de la courbe. Ce point ne sortira pas du plan vertical mV perpendiculaire à la charnière; et comme sa plus courte distance à cette droite est évidemment la ligne (mV, m' V), il n'y a qu'à évaluer, par le procédé général du n® 17, la véritable longueur de cette ligne, puis la porter de Y en ]ui, et ce dernier point sera le rabattement de (m, m'). Mais observons ici que, si l'on a employé la méthode du n"^ 258, on connaîtra immédiatement la vraie longueur cherchée, car elle est évidemment Y m'' ; de sorte qu'en décrivant avec cette droite pour rayon un arc de cercle, il ira couper la ligne YM au point demandé fx. De même, les arcs de cercle décrits avec les rayons Y(f et Ycf' fourniront les points a et 7; et par des opérations semblables, on obtiendra la courbe (xXij£vfy& pour le rabattement de la section droite du cylindre.

242. La tangente (mT, m^T) de la courbe primitive ayant son pied T situé sur la charnière PQ, ce point restera immobile pendant le mouvement de rotation ; et comme le point de contact (m, m') s'est transporté en /x, il s'ensuit que Tfi est le rabattement de la tangente, ligne qui devra toucher exactement la courbe oXfiê... au point jx.

243. Développement. Notis avons démontré {v? 166) que, parmi toutes les courbes planes tracées sur un cylindre quelconque, la section orthogonale était la seule qui devint une ligne droite après le développement de la surface. Par conséquent il ne suffisait pas ici de connaître ia base ÂBCD du cylindre, pour être en état de le développer-, mais il fallait nécessairement chercher la section droite {abcdj a!b'dd% et même construire le rabattement aèfè de cette courbe, afin de pouvoir mesurer chacun des arcs ûA, Afx,..., et de porter leurs longueurs rectos, à la suite les unes des autres, sur une même droite (*). Ainsi, en supposant qu'on ouvre le cylindre le long de l'arête AA" {fig. 60 et 61), on prendra sur une droite indéfinie xjr les distances

aaX2 = aX, X2|X2 = X|x, fi.a§2 = |uig, g,V2=:gv,... ;

( *) Nous avons déjà dit que, pour rectifier un arc tel que ak , il faut employer une ouverture de compas qui soit contenue un certain nombre de fois sur cet arc, mais assez petite pour que la corde qu'elle représente se confonde sensiblement avec Tare partiel que sous-tendrait cette corde.