CHAPITRE II. —DES SECTIONS PLANES. Il
puis, par tous les points de division, on élèvera des perpendiculaires indéfinies sur la droite Jt^, et ce seront là (n^ 161 ) les positions des génératrices après le développement. Ensuite, pour obtenir la courbe suivant laquelle se transforme, par cette opération, la base inférieure ABCD, il faudra porter sur ces perpendiculaires, les longueurs des diverses portions de génératrices comprises entre cette base et la section droite, lesquelles ont pour projections
(Afl,A'a'), (L/,L'/'), (Mm, M' m'),... et qui peuvent être évaluées par le procédé général du n** 17. Mais ici encore la méthode du n** 238 offrira un avantage sensible; car elle fournira immédiatement pour ces longueurs les droites rabattues suivant
ka\ L/% Mm",..., que Ton transportera sur le développement en
OC2A2, A2LJ2, ^2^21.. .j
et la courbe A2L2MaB2CaD2A8 qui passera par les extrémités de ces droites, sera la transformée de la base ALMBCDA.
La transformée de' la base supérieure s'obtiendrait généralement en portant, sur les perpendiculaires à xy et au-dessus de cette ligne, des distances égales aux portions de génératrices qui seraient comprises entre la section droite et la courbe A"L'^M''B",... ; mais ici où les deux bases sont parallèles, les longueurs des génératrices totales sont constantes ; de sorte qu'il suffira d'évaluer la grandeur d une seule arête (AA*, A' A''), laquelle est donnée par le rabattement AAq {ficj. 60), puis de porter cette grandeur constante sur les diverses perpendiculaires à xj, à partir des points A2, La» M2,.... On obtiendra ainsi, pour transformée de la base supérieure, une courbe A4L4M4C4 A5 identique avec A2L2M2C2A3.
244. Observons ici que quand la base ABCD du cylindre sera un cercle, comme dans notre épure, ou même une ellipse dont un des axes BD se trouvera perpendiculaire aux généralriceSy la section droite sera une ellipse dont les axes seront (6rf, b'd*) et {acj ald). En effet, le plan qui serait mené par les deux arêtes BB" et DD* ayant alors, par hypothèse, sa trace horizontale BD parallèle à PQ, il devra couper le plan PQR' suivant une corde (6rf, 6V) parallèle à PQ; par conséquent cette corde sera perpendiculaire sur les tangentes de la courbe aux points (6, b') et (rf, d'\ puisque ces tangentes sont dans les plans verticaux BB" et DD". Ainsi, la corde horizontale (6d, 6'rf') est nécessairement un diamètre principal^ ou un axe de lellipse dans l'espace, et le second axe, qui est perpendiculaire au premier, est (ac, aV). Mais il faut observer que ces deux droites, en se projetant sur le plan vertical, ne restent pas perpendiculaires, et deviennent seulement diamètres conjugués de afb'c^d'; tandis qu'elles continuent d'être, en projection horizontale, les axes de la courbe abcd.
1 l6 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.
D'après cette remarque, et si Ton a eu soin de prendre les points G et M, EetL,... deux à deux sur des droites parallèles à PQ, la section orthogonale rabattue suivant aSyc^ se trouvera divisée par les génératrices en arcs égaux et symétriquement placés quatre à quatre; de sorte que, pour rectifier cette courbe, il suffira de mesurer seulement les trois arcs oX, Xjx et jxS, puis de porter ces longueurs sur xj- quatre fois de suite, mais en renversant Tordre de ces arcs à chaque série. T^s longueurs des portions de génératrices offriront aussi des relations analogues, qui permettront de n'employer que la première moitié de ces droites.
245. {Fig. 60 et 6 1 .) Pour obtenir la tangente de la transformée, qui n'est autre chose que ce que devient la tangente primitive TM de la base du cylindre, après le développement de cette surface, il faut se rappeler (n^ 162) que, dans cette opération, le triangle projeté sur MmT reste invariable de forme. Or ce triangle est rectangle au point (m, m') ; l'un des côtés projeté sur Mm est déjà rapporté sur le développement en jXaMa; le second côté Tm a pour longueur véritable Tfi qui est son rabattement : donc, si l'on prend sur xj- la distance jx^T, = fiT, et que l'on mène l'hypoténuse T^M^, cette droite sera la tangente de la transformée au point Mj.
Puisque, d'après ce que nous venons de dire pour un point quelconque, l'angle TaMsjXa formé par une tangente et par l'arête correspondante demeure le même avant et après le développement, il s'ensuit qu'aux points Aa, C^, „ la transformée devra couper les génératrices à angles droits; car, sur le cylindre primitif, la tangente aux points A et C de la base était évidemment perpendiculaire sur la génératrice correspondante.
V inflexion aura lieu, dans la transformée, aux points B, et D^; car aux points correspondants B et D sur le cylindre primitif, le plan tangent se trouvait évidemment perpendiculaire sur le plan sécant PQR', ce qui est la condition caractéristique, comme nous l'avons vu dans la note du n^226.
PROBLÈME IV. Étant donnés un cône droit et un plan, trouver, 1° les projections de leur intersection; ^^ le rabattement de cette courbe; 3** le développement du cône et la transformée de l'intersection, ainsi que les tangentes à ces diverses courbes.
246. {Fig, 63.) Un cône droit étant une surface de révolution engendrée par une droite qui rencontre l'axe, toute section perpendiculaire à cette dernière ligne sera un cercle ACBD, que nous regarderons comme la directrice ou la base du cône, et dont nous adopterons le plan pour plan horizontal de projection. Le sommet étant projeté en (S, S')> le contour apparent du cône sur le plan vertical sera formé (n^ 106) par les deux génératrices S'A', S'B', qui répondent aux plans tangents A A' S, BB'S', perpendiculaires au plan vertical-, et si d'ailleurs on admet, pour simplifier un peu les opérations graphiques, que celui-ci a été choisi perpendiculaire au plan sécant, ce dernier aura pour traces des lignes telles que PQ et QR'*
