CHAPITRE II. — DES SECTIONS PLANES

247. Cela posé, coupons le plan PQR' et le cône par des plans auxiliaires qui passent tous par le sommet (S, S'), et qui soient en outre parallèles à la trace horizontale du plan PQR'. D'après le choix de nosdonnées, chacun de ces plans auxiliaires aura pour traces une droite S' F' menée par le point S' dans une direction arbitraire, et une droite F'KF perpendiculaire à la ligne de terre. Comme cette dernière trace rencontre la base ACBD du cône en deux points F et K, j'en con* dus que les génératrices SF et SK sont les sections de la surface par le plan auxiliaire S'F'F; mais celui-ci coupe le plan PQR' suivant une droite évidemment perpendiculaire au plan vertical, et projetée en (M', XNM); donc la rencontre de cette droite avec les deux génératrices fournira, sur le plan horizontal, deux points M et N de la courbe demandée, lesquels seront d'ailleurs projetés verticalement en M'.

En répétant ces constructions pour d'autres plans auxiliaires, on obtiendra des points de l'intersection aussi multipliés qu'on le voudra; mais, pour l'opération ultérieure du développement, il sera utile de faire passer les traces horizontales des plans auxiliaires par des points A, E, F, C,... qui divisent le cercle en arcs égaux. Parmi ces plans, se trouveront les plans tangents AA'S' et BB'S', dont chacun fournira un point unique (G, G') ou (H, H'); ce seront là deux sommets de l'intersection, car on voit aisément que la droite (GH, G' H') divise en deux parties égales et à angles droits toutes les cordes parallèles à MN; de sorte que cette droite est un axe de la section conique. Cette courbe, qui, dans l'exemple actuel, est une ellipse, a pour projections GLMHN et G'H'.

248. {Fig. 63.) La méthode précédente ne pourra pas servit à trouver les ])ointsde l'intersection, situés sur les deux arêtes SC et SD qui se projettent verticalement suivant l'axe du cône; parce qu'ici les sections auxiliaires faites dans cette surface et dans le plan PQR' se confondraient toutes sur le plan horizontal avec la droite CSD. Mais si nous menons par le point V un plan sécant horizontal, il coupera le cône suivant un cercle du rayon TV = SV, et le plan donné suivant une droite (I', CD); par conséquent, la rencontre de cette ligne avec le cercle du rayon SV sur le plan horizontal fournira les deux points demandés I et J.

Ce second procédé aurait pu aussi être employé pour trouver les autres points de l'intersection du cône avec le plan PQR'; et d'ailleurs, il peut servir à vérifier la position des points pour lesquels, dans la première méthode, la rencontre des arêtes et des droites se fait sous un angle trop aigu.

249. La tangente en un point quelconque (M, M') de la courbe sera donnée (n^215) par l'intersection du plan PQR' avec le plan tangent au cône le long de l'aréle SMF. Or ce dernier a pour trace horizontale la tangente FT de la base ACBD; ainsi le point' T où se coupent les droites FT et PQ est un point de la tangente cherchée, et même ce point en est la trace horizontale; donc, enfin, cette tangente est la droite (TM,QM').

Il8 LIVRE IV. — INTEBSECTIONS DE SURFACES.

230. Rabattement. Faisons tourner le plan PQR' autour de sa trace QR', pour le rabattre sur le plan vertical. Dans ce inouveraent, la droite (ftTNX, M'), évidemment perpendiculaire à la charnière, demeurera à angle droit sur cet axe de rotation, et prendra la position M'm; donc, en portant sur celte dernière ligne les

distances

M'm = XM, M'n=:XN,

on obtiendra les points m et n pour les rabattements de (M, M') et (N, N'). Tous les autres points se trouveront semblablement, et la vraie grandeur de la section sera glmilin.

Par suite des mêmes considérations, on verra aisément que le pied T de la tangente TM se transporte à une distance Q« = QT, sur une perpendiculaire à la charnière QR'; ainsi, en joignant les points t et m, on aura la droite tm qui devra toucher en m la courbe rabattue glmh.

251. Développement. {Fig. 63). Nous savons (n** 170) qu'une surface conique quelconque est développable, et que, dans cette transformation, les génératrices ou des portions quelconques de ces droites ne changent pas de longueur. Donc, puisqu'icî, où le cône est droit, les arêtes comprises depuis le sommet jusqu'à la base sont toutes égales, il est évident que les extrémités de ces droites se trouveront situées, après le développement, sur une circonférence de cercle qui aura pour centre le sommet du cône, et un rayon égal à S'A'. Ainsi, choisissons sur le plan où l'on veut exécuter le développement, un point arbitraire S''; et avec un rayon S"A"= S'A',^décrivons un cercle sur lequel nous prendrons un arc A*B*'A'' qui soit égal en longueur absolue à la circonférence ACBDA, ce qui revient à dire que cet arc A^B^A'" doit être une fraction de la circonférence totale, exprimée par le rapport de SA à S'A'; puis, tirons le rayon S^A*, et alors le secteur S^'A^B^A" représentera exactement la nappe inférieure du cône, développée sur le plan que nous avons choisi. Quant à la nappe supérieure, nous en faisons abstraction ici, parce qu'elle n*est pas rencontrée par le plan PQR'; mais, dans un autre exemple (n*^ 262), nous verrons ce qu'il faut faire pour cette seconde nappe.

252. Maintenant, pour obtenir la transformée de l'intersection (GLMH, G'H'),

et en admettant que le cône a été ouvert le long de l'arête (SA, S'A'), prenons sur

la circonférence A"B"A*', qui est elle-même la transformée de la base ACBD, des

-arcs(*)

A"E"= AE, E'^F '= EF, F*'C"= FC,...,

(*) Ici il ne s*agit pas de rectifier précisément les arcs AE , £F, . . . , mais de les changer en arcs d'un rayon différent et tle mêmes longueurs absolues que les arcs primitifs. Or, si l'on emploie des ouvertures de compas propres à représenter des cordes sensiblement confondues avec les arcs partiels qirelles sous-tendraient sur le cercle ACBD, puis que Ton reporte ces ouverture de compas sur la circonférence A^B'^A^', on approchera encore plus de la vérité que si on les portait sur une ligne