CHAPITRE II. —DES SECTIONS PLANES. II

puis tirons les rayons S^E"', S'T",-.. sur lesquels il faudra porter des longueurs respectivement égales aux portions de génératrices, comprises entre le sommet et les divers points de la courbe (GMH, G'H'). Or, si l'on considère, par exemple, le point (M, M') situé sur la génératrice (SF, S'F'), et que Ton fasse tourner cette droite autour de l'axe, jusqu'à ce qu'elle devienne parallèle au plan vertical, il est évident qu'elle ira Coïncider avec l'arête (SA, S'A'), tandis que le point M' restera sur une horizontale et se transportera en jx' : donc alors S'jx' sera la véritable longueur de la droite primitive (SM, S'M'). Ainsi, après avoir mené par tous les points L', M',... des horizontales, il faudra porter sur les rayons du développement les distances

( t la courbe G''I/M"FH''N''6 ' sera la transformée de la' section faite dans le cône par le plan donné PQR',

253. Cette transformée, considérée en elle-même, ne se terminerait pas brusquement aux points G'' et G"'; mais elle se prolongerait en offrant une infinité de branches égales à G''H"G% lesquelles finiraient cependant par coïncider exactement, si le rapport de l'apothème S'A' au rayon SA de la base était un nombre commensurable : c'est ce que montre clairement l'équation de cette courbe, où il entre une fonction circulaire et périodique (*). Mais, pour se rendre compte syn-

droite; par conséquent, le procédé est le même que pour rectifier les arcs AE, EF,. . . . Toutefois, dans le cas actuel, on opérera avec plus d^exactttude et de facilité si, comme nous l'avons recommandé, on ar en soin de prendre les points A, Ë, F,. . . à égales distances sur la base circulaire, parce qu'alors il suffira de diviser Tare total A^'B'^A''' en autant de parties ^ales qu'il y en avait sur le cercle ACBD.

(*) Pour obtenir cette équation en coordonnées polaires, représentons par R, //, /, le rayon delà base, la hauteur et rapothème du cane (fig. 63) ; soient d'aillexirs à = TT la hauteur du point (F, S) où le plan PQR' coupe Taxe, et «> Tangle de ce plan avec l'horizon : nommons enfin p la distance du sommet à un point quelconque (M, M') de la courbe, et a l'angle ASF, c'est-à-dire Parc qui mesure cet angle dans un cercle dont le rayon est l'unité ; d'où il résulte que l'arc AF = Ra. Avec ces données, il serait bien facile de former les équations du plan et de la droite (SF, S' F'), puis de trouver la distance du sommet à leur point de rencontre, distance que Ton égalerait à p; mais nous pouvons y arriver plus prompteroent de la manière suivante :

Dans le triangle formé par Taxe du cône avec la génératrice (SF, S' F'), sur laquelle est situe le point (M, M') dont nous appellerons z la hauteur, on a évidemment

ensuite, dans le triangle S' F' Y qui est la projection verticale du précédent, et où la droite

MTO = = , oa trouvera aisément

tango» tangw

h : A — a :: Rcosa : ;

tangb)-