I20 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES

thétiquement de ces circonstances, il n'y a qu'à imaginer que le cône est enveloppé par une surface flexible, qui a fait un nombre indéfini de révolutions : alors, toutes ces nappes superposées ayant été coupées simultanément par le plan PQR', elles produiront, en se déroulant de dessus le cône, une infinité de branches identiques qui se construiront graphiquement en continuant de porter sur la circonférence A'^B^'A^ et au delà du point A^ des arcs égaux à A'^E", E^F'', F'C",... avec des rayons vecteurs égaux à ceux que l'on a déjà employés.

254. Quant à la tangente au point M"" de la transformée, il faut se rappeler (n° 170) que cette droite doit faire ici avec S" F'' le même angle que formait primitivement la tangente (MT, M'Q) avec celte génératrice; et comme cela est vrai également de la tangente FT à la base, il s'ensuit que le triangle rectangle projefé sur MFT demeure invariable de forme quand le cône se développe. Or, Tun des côtés de ce triangle est déjà rapporté sur le développement en M"F^; donc, si on lui élève une perpendiculaire F''T'= FT, et que Ton tire la droite 'F'M", cetre ligne devra toucher la transformée au point M'^.

Il résulte aussi du principe que nous venons de rappeler, qu'aux points G% H", G"', la courbe doit couper à angle droit le rayon vecteur correspondant; car, aux points primitifs (G, G') et (H, H'), la tangente de l'intersection se trouvait évidemment perpendiculaire sur la génératrice du cône.

255. Du point d'inflexion. Il arrive ordinairement, comme ici dans l^fig- 63, que la transformée G" M" H" G*', après avoir tourné sa concavité vers le sommet S", tourne ensuite sa convexité vers ce point, et dès lors il doit y avoir une inflexion entre G" et H". Il importe de pouvoir assigner l'endroit précis où arrivera cette circonstance, et pour cela il faut se rappeler le Jemme suivant, qui est bien facile à démontrer : Lorsqu'une droite est oblique à un plan, l'angle qu'elle forme avec

alors si on élimine z entre les équations fournies par ces deux proportions , il viendra

^ h — R lang w . cos a

Ce résultat contient deux variables p et a dont la première conserve la même grandeur sur le développement du cône; mais Tangle a est alors remplacé par l'angle G'''S''M"== 0 qui correspond, dans le cercle du rayon /, à un arc A" F" dont la longueur absolue égale celle de Tare AF dans le cercle du rayon R; par conséquent on a la relation Ra = /d, au moyen de laquelle on peut éliminer a de réquation précédente qui devient enfin

h — R tang w . cos —

Cette équation, que nous laissons à discuter par le lecteur, représentera toujours la transformée, soit que rintersection primitive se trouve une ellipse, une parabole ou une hyperbole, en faisant attention que si u varie pendant que A demeure constant , on aura pour ces trois genres

Rtang«><^/i, ou = ^, ou }>^.

. CHAPITRE II. — DES SECTIONS PLANES. lal

sa projection orthogonale sur ce plan, est le minimum de tous ceux qu'elle fait avec les diverses lignes tracées par son pied dans ce même plan ; et le maximum de tous ces angles est celui qu'elle forme avec le prolongement de sa projection.

Cela posé (fig. 64 bis)^ soit PQR le plan sécant, et ABMDEF la section qu'il trace daiis un cône quelconque; je dis que la transformée de cette section présentera une inflexion au point situé sur la génératrice pour laquelle le plan tangent du cône se trouvera perpendiculaire au plan sécant. En effet, si nous abaissons la perpendiculaire ST sur le plan PQR9 et que nous menions la droite TMDP tangente à la courbe de section, le plan STM sera bien tangent au cône, et perpendiculaire au plan sécant; d'ailleurs, les deux génératrices infiniment voisines SM et SD contenues dans ce plan tangent, auront évidemment la tangente TMP pour projection orthogonale sur le plan PQR. Or, d'après le lemme cité plus haut, on aura

angle SMT < SMB et angle SDP > SDE ;

donc, lorsqu'on développera le cône sur le plan tangent SMT supposé immobile, l'élément MB de la courbe ira prendre une position MB' située au-dessous de la tangente MT, tandis que l'élément DE occupera une position DE' supérieure à DP. Par conséquent, la transformée A'B'MDE'F' offrira bien une inflexion au point M, ou autour de la tangente TMDP.

Surface développable quelconque. Le théorème démontré ci-dessus pour un cône, et pour un cylindre dans la note du n^ 226, est encore vrai pour toute surface développable coupée par un plan ; car la démonstration précédente n'exige nullement que, dans la fig. 64 bis, toutes les génératrices aillent se couper au même point S; elle suppose seulement que deux génératrices infiniment voisines, comme SM et SD, sont situées dans un même plan qui est le plan tangent de la surface. Or, comme cette condition est toujours l'emplie dans les surfaces développables, il s'ensuit que le théorème précédent est encore vrai pour toutes les surfaces de ce genre.

256. Pour appliquer ce théorème à la fig. 63, nous abaisserons du sommet (S, S') une perpendiculaire (S'X", SX) sur le plan sécant PQR'; et par le pied X de cette droite, nous mènerons à la base du cône la tangente Xp, qui fera connaître la génératrice Sp sur laquelle sera situé le point de la section où se produira une inflexion dans la transformée. Il restera donc à trpij^irer, sur le développement du cône, la position que prendra la génératrice projetée actuellement sur Sp; ce qui s'effectuera comme au n® 252. ..

Observons, toutefois, que si le pied (X, X") de la perpendiculaire abaissée sur le plan sécant se trouvait en dedans de la base ACBD, il n'y aurait plus d'inflexion dans la transformée de la section; ce qui peut arriver pour une certaine inclinaison du plan PQR'.

4« édU. 16

122 LIVRE lY. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

257. Cas où la section conique est une hyperbole {fig. 64) • Soient toujours ACBD la base du cône droit, et AfS'b\ B'SV, les arêtes qui forment le contour apparent de cette surface sur le plan vertical : nous tiendrons compte ici des deux nappes, en les supposant terminées à deux sections horizontales A'B', a'I/y qui se trouvent également distantes du sommet, et qui, par conséquent, donnent lieu à deux cercles projetés l'un et Tautre sur ACBD. Quant au plan sécant, disposons-le de manière à couper les deux nappes du cône; et en admettant toujours que le plan vertical a été choisi perpendiculaire au plan sécant, les traces de ce dernier seront R'QetQP.

La construction de la courbe de section pourrait s'effectuer comme au n^ 247, au moyen de plans auxiliaires qui seraient menés par le sommet, perpendiculairement au plan vertical; mais, à cause de la grande obliquité que pnésenteraient ici les sections rectilignes, il sera plus exact d'employer des plans horizontaux. Soit donc [l'y^ un de ces plans; il coupe le cône suivant un cercle projeté sur /xMy, et le plan donné PQR' suivant une droite (M', XNM); par conséquent, les points M et N communs à ces deux sections sur le plan horizontal, appartiennent à la courbe demandée dont une des branches est ainsi (PMGNI, QG'). L*^autre branche (RLHKN, U'R') se construira de même; et l'on fera bien d'employer une section (^X'= fx'y', laquelle fournira deux points (L, L') et (K, L') projetés encore sur le cercle JU.M7. Nous ne répéterons pas ici ce que nous avons dit dans le problème précédent, sur les sommets et la construction de la tangente; mats nons allons passer à une recherche particulière au cas actuel.

2^. Lorsqu'une courbe admet une branche infinie, et qu'on éloigne de plus en plus le point de contact d'une tangente, cette droite varie de situation^ et quelquefois elle se transporte tout entière à l'infini en même temps que le point de contact, ainsi que cela se présente dans la parabole du second degré; mais, dans d'autres cas, il arrive que cette tangente variable reste toujours en deçà d'une certaine limite, qu'elle n'atteindrait qu'autant que le point de contact serait à une distance infinie. Alors, cette limite des positions de la tangente se nomme une asymptote; et l'on énonce cette propriété d'une manière abrégée, en disant que V asymptote d'une courbe est la tangente pour un point de contact infiniment éloigné.

259. [Fig. 64.) D'après cela, proposous-nous de construire les asymptotes de la section flûte dans le cône^ par le pian PQR^ Le point de contact d'une tangente de cette espèce, devant être à une distance infinie, se trouvera nécessairement situé sur une génératrice parallèle au plan sécant; si donc on mène par le sommet, et parallèlement à PQR^ un plan S' a' a qui coupe le cône suivant les droites Sa et SSy ces deux arêtes seront celles qui contiennent les points de contact des asymptotes. Considérons la première, et rappelons-nous que le plan qui touche le cône tout le long de la génératrice Sa, quelque prolongée qu'elle soit, a pour trace horizon*