CHAPITRE lî, — DES SECTIONS PLANES. Iîl

laie la tangente aÔ de la base; donc, l'asymptote qui doit être (n** 215) Tinfersecrîon de ce plan tangent avec le plan PQR', passera par le point d où se rencontrent leurs traces; et elle sera précisément la droite 0« parallèle à Sa, puisque ces deux plans sont l'un et Tautre parallèles à cette génératrice.

On construira de même l'autre asymptote ftù^ qui sera parallèle à l'arête S6; et les deux asymptotes devront se couper en un point w, qui soit situé précisément au milieu de l'axe réel GH, c'est-à-dire au centre de la courbe.

260. Si l'on appliquait la méthode précédente au cas d'une section parabolique^ ce qui exigerait que le plan PQR' eût sa trace verticale parallèle à S'A', on trouverait que les deux arêtes Sa et S§ se confondraient avec SA; de sorte que cette dernière droite étant la seule génératrice du cône qui fat parallèle au plan sécant PQR', la section aurait bien encore une branche infinie, mais elle n'admettrait plus d'asymptote ; car le plan PQR' et le plan tangent le long de SA, qui devraient donner cette tangente par leur intersection, se trouveraient évidemment parallèles entre eux.

261. Rahattement. Cette opération s'effectuera comme dans le n^ 250, en portant sur chaque droite M' m perpendiculaire à la trace verticale QR% des distances M'm = XM, et M'n=:XN. Quant aux asymptotes, on rapportera d'une manière settfblable leurs pieds 9 et 9, en 6' et f'; pais, on joindra ces derniers avec fù" qui est le rabattement du centre (&>, <ù').

262. Développement. {Fig. 64 et6B.) D'après les principes rappelés au n^ 251, il faudra décrire d'un point arbitraire S'', et avec un rayon égal à l'apothème S'A', un cercle sur lequel on prendra un arc B^'A'B' qui soit k la circonférence totale dans le rapport de SA avec S'A' ; et le secteur S"'B''A*'B* représentera le développement de la nappe inférieure du cône, en supposant qu'on ait ouvert cette surface le long de l'arête (BSA, B'S'a'). Mais, comme la nappe supérieure se développe en même temps que la première, et par un mouvement contraire: autour du sommet qui peut être censé immobile, cette seconde nappe aplanie viendra occuper un secteur ^"cTb^ôT égal au précédent, et dont les rayons, extrêmes seront les prolongements de S^'B* et de S"B*'. Pour rendre plus sensible la distinction de ces deux secteurs, nous avons supposé ici que la nappe supérieure setei^minait àuncercle n^b^a^ d'un rayon un peu moindre que S''B^ et nous avons ponctué les parties du secteur inférieur qtii sont recouvertes par l'antre; cepenéantj^ôurrfÊBCtuer les constructions dont hous allons parler, il faudra toujours opérer sur le cercle primitif B^AJB" 6".

Cela posé, sur le rayon S*' A" qui divise en deux parties égales le premier secteur^ on prendra la distance S''G'' = S'G', et le point G* sera la position du sommet (G, G'). Ensuite, pour un point quelconque (M> M^) de la -courbe, on mènera la génératrice SMF dont la position S*F^, sur le développement, «s'obtiendra en

la/f LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

prenant Tare A"F" = AF; et comme la véritable distance du sommet au point (M, M') est égale à S^/x' (u«252), si l'on prend une longueur S'^M'' = S>% le point M'' sera la position actuelle de (M, M'). Les autres points se détermineront d'une manière semblable, et la transformée de la branche inférieure de la section conique sera P'^M^G'^N^F,

Quant à Tautrebranche^ elle se trouvera divisée en deux parties séparées, puis* que le sommet (H, H') était placé sur la génératrice B'S'a' suivant laquelle on a ouvert le cône, et que cette arête s'est transportée en S'et' d'une part, et de l'autre en S"a^. On portera donc sur ces dernières droites deux distances S" H*' et S^'H" égales à S' H', et les points H'', H^ seront les positions actuelles du sommet H'. Ensuite, pour un point quelconque (L^ L') de cette branche, on tirera la génératrice SLC dont la position S" G", sur le développement, se trouvera en prenant l'arc o^G'' = AC; et sur le rayon S'' G", il restera enfin à j>orter une longueur S"L"= S'X' qui est la véritable distance du sommet au point (L, U). Par des opérations analogues, on trouvera que la section faite dans la nappe supérieure du cône, a 'pour transformées les deux branches WJfW et H^'K^V", lesquelles doivent couper à angles droits les rayons extrêmes S* a" et S'' a*'.

263>. \Fig. 64 ^t 65. ) Gherchons maintenant à retrouver les asymptotes, et observons bien que ces droites étant situées, non sur la surface même du cône, mais dans les plans tangents le long des génératrices Sa et Se, elles conserveront leurs positions primitives par rapport à ces arêtes autour desquelles les plans tangents ne font que tourner, lorsqu'on développe la surface. Gommençons donc par déterminer ces arêtes sur le développement, en prenant les arcs A"a" = Aa, A" 6^= AS, et tirant les rayons S'V et S^'S^: ensuite, sur les tangentes aux points^ a!' et 6*, nous prendrons des distances a"Q"= aÔ, ê''q/' = S®, et les droites Q^Oy y"0, respectivement parallèles aux génératrices S" a", S''©", seront les positions actuelles des asymptotes primitives.

Le point O où ces droites se coupent doit se trouver sur le rayon S"A'% à cause de la symétrie des constructions précédentes, à droite et à gauche de ce rayon; mais il ne faut pas croire que ce- point O est le même que l'intersection (ù des asymptotes primitives^ car ces droites ont changé de position l'une par rapport à l'autre.

Néanmoins, les lignes ^O et (f"0 doivent se trouver asymptotes relativement aux diverses branches de la transformée. En effet, comme la forme de cette courbe doit toujours être la même, quel que soit le plan sur lequel on a développé le cône, nous pouvons concevoir que ce développement a été fait sur le plan tingent le long de l'arçte Sa; alors l'asymptote ôw, qui se trouvait dans ce plan, a du rester immobile^ aussi bien que Télémetit infiniment éloigné qu'elle avait de commun avec l'hyperbole : donc cet élément est encore commun à la droite fl^O^