LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SDRFACES

OU plusieurs points, les diverses génératrices G, G',... qui aboutiront à ces points, se trouveront évidemment parallèles au plan P, et dès lors elles n'iront le rencontrer qu'à Tinfini; par conséquent, la section admettra autant de branches infinies,

Vasjmptote de la branche correspondante à la génératrice G s'obtiendra en cherchant Tintersection du plan P avec le plan tangent mené suivant cette génératrice G, ainsi qu'on Ta vu au n** 259. Si ce plan tangent cèiùcidait avec F, ce qui arrivera quand la trace horizontale de ce dernier se trouvera tangente k la base du cône, alors la branche infinie serait dépourvue d'asymptote. Mais comme la trace horizontale du plan F peut avoir avec la base B plusieurs points communs, dont les uns seraient des sections véritables, et les autres des contacts, il pourra arriver que l'intersection totale du cône avec le plan présente à la fois des branches infinies douées d'asymptotes, et des branches infinies qui en soient dépourvues.

267. Quant au défebppement de la surface conique, il faudra partager la base en arcs assez petits pour être sensiblement confondus avec leurs cordes; alors, en mesurant une de ces cordes et les deux arêtes qui aboutissent à ses extrémités, on pourra former avec ces trois droites et sur un plan quelconque, un triangle q\\\ représentera un élément superficiel du cône; puis, à la suite de ce triangle, on construira de même l'élément adjacent qui aurait un côté commun avec le précédent; et en continuant de la sorte, on obtiendra tous les éléments du cône étendus sur un plan, ce qui donnera bien le développement de cette surface.

A la vérité cette marche exigera que les opérations soient faites avec beaucoup de soin, parce qu'il faut ici construire une suite de triangles où Tun des côtés est extrêmement petit par rapport aux deux autres, et que les erreurs partielles peuvent s'accumuler. Il serait plus avantageux, sans doute, de connaître d'avance sur le développement, une ligne droite ou circulaire sur laquelle il ne resterait plus qu'à prendre des arcs déterminés, pour fixer la position nouvelle des génératrices, ainsi que nous l'avons fait pour un cylindre quelconque au n^245, et pour un cône de révolution au n® 251; mais ici où il s'agit d'un cône quelconque, il n'est plus possible de se procurer cet avantage important, parce qu'on ignore en- . tièrement la forme que prendra la base du cône après le développement de cette surface. On pourrait, il est vrai, obtenir une dortnée équivalente ou une section orthogonale, en cherchant d'abord l'intersection du cône proposé avec une spbére concentrique ; mais cette méthode, que nous exposerons plus loin (li^ 530 el 551), est elle-même sujette À des inconvénients encore plus graves.

Quand une fois le développement du cône est effectué'par une méthode ou par une autre, on y construit la tran^brmée d'une section plane, ou celte de toute antre courbe, en portant sur les rayons du développement, dés longueurs égales aux distances du sommet aux divers points de cette courbe, comme nous Tavons vu dans len^252.