CHAPITRE H. —DES SECTIONS PLANES. T

PROBLÈME VI. Construire ^intersection d\tn plan avec une surface de révolution

268. Prenons pour exemple le tore dont nous avons déjà parié au n^ 138, et qui a pour méridien le cercle (A'B'C'B", AC) tournant autour de la verticale (O, 0"Z') situé dans son plan; puis, cherchons l'intersection de cette surface avec le plan M'T'T qui lui est tangent au point (M'^ M) de la nappe intérieure^ car nous avons remarqué précédemment (n® 15W) que les plans tangents à cette nappe devaient couper la surface.

Employons ici des plans auxiliaires qui soient horizontaux^ et soit F'K'N' la trace verticale d'un de ces plans. Il coupe le tore suivant deux cercles dont les rayons sont ON = FN' et OM = l'K', tandis que son intersection avec le plan M'T'T est la droite (F', F/) perpendiculaire au plan vertical ; donc les quatre points F, F", /%/, ou cette droite rencontre les deux cercles^ appartiennent à la courbe demandée. Les autres points se trouveront d'une manière semblable; mais quand on arrivera aux parallèles extrêmes D" B" et D'B', on n'obtiendra, pour cliacun, que deux points G et gf, ou H et A; tandis qu'en opérant sur le plan horizontal V'M'I/, on trouvera trois points R, r et M, dont le dernier est celui où les branches de la courbe forment un nœud. D'après cela, l'intersection cherchée a pour projections

MHREFGE"M%e"M, et G'H'.

Nous avons ponctué les parties de cette courbe qui se trouvent au-dessous de l'équateur et du cercle de gorge, parce qu'elles sont invisibles sur le plan horizontal ;. et sur le même plan, la courbe doit toucher ces deux cercles aux points E, £'', e^, e, attendu que le plan tangent du tore est alors évidemment vertical, et qu'ainsi la tangente de la courbe et celle du parallèle, qui sont toutes deux dans ce plan, se confondent en projection horizontale.

269. Cherchons la tangente de la courbe pour un point quelconque (F, F'); et puisque cette droite doit être (n^ 213) l'intersection du plan M'TT avec le plan tangent du tore au point (F, F')^ construisons d'abord ce dernier. D'après la méthode générale exposée n^ 133 et 134, il fiaut ramener le point donné (F, F') sur le méridien principal en (N, N'), puis tirer la tangente N'P*^ dont le pied est évidemment P; ensuite,, après avoir reporté ce point P en n sur la trace du méridien OF, on mènera, perpendiculairement à ce méridien, la droite nQ qui sera la trace horizontale du plan tangent au point (F, F') du tore. Il serait bien facile de trouver la trace verticale de ce même plan : mais cela nous est inutile ici ; car le point 0 où 'se coupent les droites nQ et T'T, appartient évidemment à l'intersection du plan tangent avec le plan M'T'T, ou bien à la tangente cherchée, laquelle est par conséquent la droite (SF, T'P).

Cette méthode devient insuffisante pour obtenir la tangente de la section au

laS LIVRE IV. ~ INTRRSÏICTIONS DE SURFACES.

-point singulier (M, M'), parce qti'en cet endroit lé plan de la conrbe se confond avec le plan tangent du tore; mais nous apprendrons plus tard (n^ 734) à effectuer cette recherche intéressante qui fournira les droites MX et MX^.

270. Pour obtenir la courbe dans ses vraies dimensions, on rabattra le plan M'T'T autour de sa trace horizontale T'T, et un point quelconque tel que (F, F) restera sur une perpendiculaire à la charnière, en se transportant à une distance indiquée par T'F^ Il sera donc bien facile d'avoir le rabattement de la section, que nous n'avons pas exécuté ici, afin de laisser lire plus nettement les constructions principales (*).

PROBLÈME VII. Intersedion d\in plan avec un hyperboloide de révoiudon à me nappe,

ÎS71. Nous savons (n^ 140) que cette surface peut être engendrée par une hyperbole qui tourne autour de son axe imaginaire, ou bien par la révolution d'une droite mobile autour d'une droite fixe, lesquelles ne sont pas dans un mémeplai]. Si notis partions de la prenûère définition, la méridienne serait connue, et nous rentrerions tout à fait dans le problème du n^ Si6ft; c'est pourquoi nous emploierons l'autre mode de génération, et nous représenterons la droite fixe par (O, (yZ'}, et la droite mobile par (AD, ATK) [fig. 68). Cette dernière ligne est supposée ici parallèle au plan vertical y jmais il sera toujours bien facile de l'amener dans ceWt position (n^ 149), si d'abord on l'avait assignée dans toute autre. La plus courte distance des deux droites est l'horizonUde (OD, D') qui décrit le cercle de goi^e (XDY, X'Y'); et le pied (A, A') de la droite mobile parcourt le cercle AaB qui est la trace horizontale de la surface. Nous nous bornerons ici à ce petit nombre de données, pour fixer t'hyperboloïde en question, sans exécuter la représentation graphique de cette surface sur le plan vertical, où le contour apparent serait une hyperbole (n** 148) ; et pour laisser voir plus distinctement la courbe d'intersection sur le plan horizontal, nous' réduirons la surface à sa nappe inférieure, c'est4direque nous supposerons la droite mobile terminée au point (D, D'). Enfin, nous rappellerons que la génératrice du second système {xï^ 141) serait (BD, B'D'); et qu'en transportant ces deux génératrices parallèlement à elles-mêmes, dans les positions (D'A', O^z), (D'BV j06), elles produiraient alors par leur révolution

(*) 11 est intéressant d'observer que si le plan TT'M' tangent au tore était incliné de manière à passer par le centre (0, O'), auquel cas il toucherait une seconde fois cette surface dans un l»jn^ [m y m*) syméoique de (M , M') , il arriverait que la section produite f)ar ua tel plan dans le tore « réduirait à deux cercles égaux et se croisant aux points de contact (M, M') et (iw, m*)- On vérifie cette proposition en formant ^'équation de la section rapportée à des axes tracés dans son planj mais, pour apercevoir aisément que cette équation du quatrième degré peut se décomposer en deux facteurs rationnels du second , il est nécessaire d'y introduire les coordonnées polaires. Cette propriété fort curieuse dont jouit le tore, a été reconnue et indiquée par M. Yi>on Flllarceau dans les Corfip^^^ rendus de i' Institut, le 28 août 184S.