CHAPITRE II. — DES SECTIONS PLANES
autour de Taxe vertical, le cône asymptote (n^ 146) dont la base serait le cercle ab^ et dont le sommet (O, D') coïncide avec le centre de l'hyperboloïde qui n'est autre chose que le centre du cercle de gorge.
272. Ceja posé, soient PQ et QR' les traces du plan sécant donné, ce qui suppose que Ton a choisi le plan vertical de projection perpendiculaire à celui-là; mais, quand même la trace PQ serait oblique à la ligne de terre, tous les raisonnements qui vont suivre seraient entièrement identiques, et les constructions analogues. Pour obtenir l'intersection de ce plan PQR' avec l'hyperboloïde, j'emploie encore des plans auxiliaires horizontaux, tels que celui qui a pour trace verticale M'V. Ce plan rencontre la génératrice (AD, A'D') au point (V, V), et, par conséquent, il coupe la surface de révolution suivant un cercle dont la projection horizontale est la circonférence VMN décrite avec la distance OV pour rayon : mais ce même plan M'V coupe le plan donné PQR', suivant une droite (M', IMN) perpendiculaire au plan vertical ; donc les points M et N communs à cette droite et au cercle précédent, sont deux points de la courbe demandée sur le plan horizontal; ils sont d'ailleurs projetés verticalement l'un et l'autre en M'. En menant d'autres plans auxiliaires parallèles à M'Y', on déterminera les divers points de l'intersection qui, selon l'inclinaison du plan PQR', peut être une ellipse, une parabole, une hyperbole, ou une variété de ces courbes.
275. Des sommets. Si du point (O, R'), où le plan sécant rencontre Taxe vertical de la surface, on abaisse une perpendiculaire (OP, R'Q) sur sa trace horizontale, cette perpendiculaire partagera évidemment toutes les cordes parallèles à MN, en deux parties égales et à angles droits; donc elle sera nécessairement un axe de la courbe, quel que soit le genre de celle-ci; si donc cette courbé a des points sittiés sur cet axe, ce seront les sommets, et il importe de les obtenir directement. Pour cela, il faudrait faire tourner la génératrice (AD, A'IK) jusqu'à. ce qu'elle vînt rencontrer (OP, R'Q) en un certain point G; mais si, aci contraire, nous laissons immobile la première de ces lignes, et que nous fassions tourner la droite (OP, R'Q) autour de la verticale O qu'elle coupe en (O, R'), elle ira rencontrer la génératrice (AD, A'D') en un point que j'appellerai K, et qui se trouvera évidemment sur le même parallèle où aurait été situé le sommet G. Or, il est facile de construire le point R, qui est l'intersection de la droite (AD, A'D^) avec le cône engendré par la révolution de (OP, R'Q); car, après avoir décrit le cercle du rayon OP, base de ce cône auxiliaire, on conduira par le sommet (0,R') et par la génératrice (AD, A'D') un plan dont on trouvera la trace horizontale AC en menant par ce sommet une parallèle (R'C, OC) à la génératrice; alors, cette trace AC coupant le cercle OP en deux points F et E, fera connaître les deux arêtes QF et OE du cône auxiliaire qui sont rencontrées par la génératrice (AD, A'D'), et, par suite, on aura aussi leurs points de section K et h» Maintenant, pour re-
4* édit. 17
i3o * LIV«e IT. -^ IHYËMËtiftÔlfS AË tmfàAU.
vênif de Ces pointe ailit TéHtâbies sômrnêi^ G et H qui doivent étfe projetée MfOP, on décrira Avec les rayons OK et OL, deux cercles qui rencontreronl I^l droif« OP aux points cherchés 6 et H. Il est vrai que chacun de ces cerdeâ oouperail OP en deux points; mais on distinguera aisément lequel est vraiment situé âur la ligne indéfinie (OP, R'Q), en traçant led projections verticales K& et Î/W de C€S deux cercles.
Il est bon de commencer le tracé de Tépure par la conitntctioâ des «omBiMly parc6 qu'une fois ces points déterminés^ ùû podrra mener \H plam liuiiJiiilWf t«lsqu« M'Y') à des distances convenables; et que d'ailleurs la recherché ât M soiiimets fera connaître le genre de la section^ aiùsi que nôtift allons i'iâipliqoér.
ft74*. Dimission. (F/^.68). l^ Si la trace ÀG coupe la basé du côtiê cniirî/fAM décrit par la droite (OP, R'Q), et fournit deux arêtes OF et OE qui ret)Cotrfn»t Tune et Tantre la génératrice AD, la ftection offrira deuâ^ tonmets situés «»f (OP, R'Q); et par conséqttent cette courbe sera une eliipse ou une hffietboiê àfMt cette droite pour axe réeL Ces deux cas se distingueront aisément Yut\ d^rautrei m examinant ii nn plan quelconque M' Y' mené entré les points (G, G^) et (If, H'} fournit, ou non, quelque point de la courbe. D'ailleurs, lorsque la seetioli im elliptique, on obtiendra le second Me en faisant passer un plan horisoMai par H milieu («, »') de l'intervalle des deujt sommets.
a*. SI, des deux arêtes OF et OE, l'une est parallèle à la génératrice DA, tttl lies sonmets s'éloignera à une distance infinie f et la section «era une paf aboie qtll atirà toujours pour axe la droite indéfinie (OP, R'Q).
3^ Lorsque la trace AC se trouvera tangente au cercle du rayon Ol^, les deni arêtes OP et OE se confondront en une seule droite; et le point où elle Odupera là génératrice AD, étant rapporté sur OP, donnera lé sommet unique de la secHtti qui se réduit alors au sjrstème de deux droites. Cette assertion pourraU être justifiée tm remarquant qu'une hyperbole dont les delix commets se réunissent, se réduit à êU asymptotes t mais d'ailleurs, si l'on prend la peine de construire l'épure relative à Thypothèse actuelle^ on reconnaîtra que le plan AC mené par le sommet du cbm auxiliaire, devient alors tangent à ce cône, aussi bien que PQR'; de sorts q«ft«« dsnx plans, qui coïncideraient si Ton faisait tourner l'un des deux autour de là verticale O, doivent produire dans Thyperboloïde de révolution àeê sécriofis idc^* tiques. Or, le plan AC contenant déjà une génératrice DA, ne peut couper de «oi^ teau la surface du second degré que suivant une autre section rêctiUgne, projetés également stir une tangente au cercle de gorge (n** 141 ); donc aussi le plan PQ*' produira dans Thyperboloïde une section composée de deux droites analogues aa* précédentes, et qui se coupercHit au point trouvé pour sommet tmique sur la droite (OP, R'Q). D'ailleurs en ce point, le plan PQR' sera tangent (n^l4») à rhyp«^ bololde.
P911S U cas très-particylier qù la droite auivant laquelle se réunUsent \e^ dm^ arêtes OF et 0£, se trouverait parallèle à DA» le plan PQR' couperait Thyperbor loïde saivant deux génératrices parallèle^ entre elle^^ et il ne serait plus tangent à la flurfaee que dans un point infiniment éloigné.
4*^. Enfin, si la trace AC ne rencontre pas dii tout le cercle du rayon OP, il n'y Hura aqçim sommet réel sur (QP, R'Q), et la section sera alors une hyperbole ^«flt cette drpite pora Taxe imaginaire. Dans ce cas', la cqurbe se construira tonjwri «emme au n**87ÎJî mais pour trouver h cmlr^^^t par suite Taxe réel» iJ faudra recourir aux asymptote^ dont nous parlerons tout; à Theure : ou biw» M qui e$t plus simple, on prendra le ipiiieu <^' de Tiniervalle de$ deui pointa y' ^K m' ça le plan PQW coupe les arêtes D'B' et D'A' du cône asymptote. Ççtte d$rni$re règle est fondée sur ce que celte surface et Thyperboloîde, étaut semblabh^ et ppur C9!ltriqnei, doivent être coupés par le plan PQR' suivant deux courber qui aurpnt Wç^ntr^ (onimun (n^l47). Or, pour Ia seption laite dans lecgne asymptote, on a vu (u^ Si7) que les deux sommets étaient projetés sur le plan vertical, en y* et »'{ |Mir eeiiyéquent ]e milieu tù' de la distance y' 10% est à la fois le centre d^ la seçtip» conique et celui de la section £Eiite dans Thyperboloîde, 1} restera donc k prpjeter ce poiiit^o fi^^ sur la ligne OP qtie Tou aait étr^^ uq a^e de la courbe; §t le pla« horizontal conduit par ce point fera trouver les dsus SOmiU^taréali par laffiétbod» dcin^îî72.
Î17S, {fig, 6^,) paur obtenir fe tW9fn(e en m ^i«/«Mfi/con^w î* de 1» awliM produite par le plan PQWi iî faut chercher riutersf çiipB de M plan avee selui qui toqçbe rbyperboloïde en M. Qr ce dernier est déterminé (n^ifîî) par les dpu^F géoéRtriççs reetilignes qui passent par ce point, et nuus savons que leurs projfpr tiqfts borizon talcs s'obtiennent ( n^ |4i ) ep menant au cerple de gorge les tapgçnt§s «sl4^« et 6M(^( par conséquent les deu:^ points a^ et §^ où cçs génératrice» eout pereni le cercle QA qui est la trace borii^ontale de l'hyperboloule» appartiendront néeessairemeqt à la trape du plan tangent çbereb^ ; dopp cette trace ^ra la droite u^ê'I qui, par sa rencontre avec PQ, fourpira le pie4 T 4e la tapgeute TM qu il ^'agissait de construire-
A la vérité, Içs tangentes au cercle de gorge menées par le point M» couperont le cercle OA en quatre point» : mais d'abordt op pe devra pombioer ensemble que eaux (|ui se trouveront tous deu^ en degà, pu tous deu:f au delà des points 4e contact & et â^ par rapport à M ; car les deui^ génératrices que Ton cherche doivent se eouper en M^ et con^quemmept(n^ 143) elles ne «auraient appartenir au même système, ce qui arriverait évidemment pour les droites 0^^% et 9^9 aussi bien que pour ê^ et ^9 ^s, Ainsi Tincertitude qui pourra rester, consistera à savoir si Ton 4oit çop4)}ner les deux droites a^^^ et ê(f, ou bien le» deu¥ 4roites (^etSs^i; mai» pour ce» 4eroière$ qui ont leurs (^tr^miii^ ipférieures en « et $$$ le point 4e sfOr
l3a * LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES,
tibn projeté en M se trouverait évidemment au-dessus du cercle de gorge, tandis que le point (M, M') que nous considérons ici, est sur la nappe inférieure de Thyperboloïde; donc il faut encore rejeter ce deuxième couple de géûéralrices, qui devrait au contraire être seul conservé, dans une épure où le point considéré M se trouverait placé sur la nappe supérieure de ia surface.
276. Rabattement. Faisons tourner le plan PQR' autour de sa trace QR', pour le rabattre sur le plan vertical. Dans ce mouvement, l'horizontale (M', IMN) restera perpendiculaire à la charnière, et deviendra M'mn, droite sur laquelle on portera des distances M'm = IM, M'n = IN; ce qui foumira évidemment deux points m, n, de la courbe rabattue. Les autres points s'obtiendront d- une manière semblable, aussi bien que la tangente dont le pied T se transportera en t, et qui deviendra tm.
La surface actudle étant gauche^ comme nous l'avons démontré au n** 145, elle ne saurait satisfaire à ia condition essentielle dh n'^lTO, et il n'y a pas lieu de chercher son développement. Observons enfin que toutes les opérations précédentes s'effectueraient d'une manière entièrement analogue, si le plan sécant PQR' était obtique au plan vertical de projection, et quand même la génératrice (AD, A'D') serait assignée dans une position quelconque ; aussi ndus engageons le lecteur à a'exercer sur de pareilles données.
277. DES BRANCHES INFINIES. {Pig.6S.) Il est irès^important de savoir reconnaître à prîort si la section de Thyperboloïde par un plan quelconque PQR', présentera ou non des branches infinies. A cet effet, il faudra mener par le centre (O, D') du cercle de gorge, une droite [Oa, D'A') parallèle à la génératrice (DA, D'A'), et tracer la circonférence a6 que décrit le pied (a, A') de cette parallèle, quand elle tourne autour de Y axe vertical O pour engendrei^ le coite asymptote; et comme on toit (n^ 146) que toutes les arêtes de ce cône sont respectivement parallèles aux diverses génératrices de Thyperboloïde, il n'y aura qu'à conduire par le sommet (O, D") un plan n parallèle à PQR', et voir si ce plan tt contient quelque aréle de cette surface conique.
1*^. Lorsque la trace horizontale du plan it ne rencontrera pas le cercle a6, base* du cône asymptote, il n'y aura aucune arête de ce cône, et conséquem'ment aucune génératrice de l'hyperboloîde, qui soit parallèle au plan donné PQR'; donc aucun point de la section faite par ce dernier plan ne pourra être situé à Tinfini, et dès lors cette section sera fermée et eWptique.
a**. Quand le plan n coupera la base ab du cône asymptote en deux points, Il existera sur ce cône deux arêtes, et sur Thyperboloide deux couples de génératrices^ iqui seront parallèles au plan PQR' : donc la section faite par ce dernier dans l'hypërboloide, offrira deux branches infinies et sera tme hyperbole: D'ailleurs, chacun de ces deux couples de génératrices, composé de deux droites parallèles, dé-
