CHAPITRE II. —DES 8ECTI0KS PLANES. lâ

terminera un plan qui se trouvera bien tangent à rhyperboloide (n** 155) dans. le point de rencontre infiniment éloigné de ces lignes; ce sera donc Tintersection <ïb ce plan tangent as/mptàtique par le plan donné PQRS qui foumiraL-Va^mploie dé la branche correspondante. Ceci s'éclaircira par l'exemple du n** 278.

3®. Enfin, si le plan iz ne fait que toucher Ja base du cône asymptote, ilni'y aura plus sur ce cône qu'une seule arête, et sur l'hyperboloïde qu'un seui toupie Ae génératrices, qui soient parallèles au plan donné PQR'; donc la section n'oifrira qu'une branche infinie et sera une. parabole. D'ailleurs elle n'admettra plus d'asymp*» tote, parce que le plan tangent conduit par ces deux génératrices se trouvera lui-^ naéme parallèle au plan PQR', comme nous le verrons clairement au n^281 .

278. {Fig^^S') Appliquons ces règles au cas de l'épure 69, où la génératme (ADB, A'iyA") est prolongée autant au-dessus qu'au-dessous du cercle de gorgé (XDYi X'Y'), afin de limiter là» surface aux deux cercles ég^m^ À'B' î^ A^B", projetés horizontalement sur AZBS. La génératrice du second système serattt (BDA, B'D'B''); et ces deux génératrices, transportées parallèlement jusqu'au centre (O9 D'), détermineraient le côqe asymptote qui a pour base le cerciedurayoD Qa.i D'ailleurs, comme dans l'épure précédente, nous ne nous attacherons pas à eifeatuer la. représentation graphique de l'hyperboloïde sur le plan vertical, où il n'y aura que des lignes isolées qui seront toutes visibles : ce sera seulement sur lé' plan horizontal que nous exprimerons la forme de la surface, en distinguant.par des ponctuations diverses, les parties visibles et les parties cachées. Quant au plaa\ sécant, nous sommes convenus (n^ 108] qu'il serait regardé comme enlevé,' après avoir coupé la surface, et qu'il n'en resterait que les traces PQ et QR'*

Cela posé, si nous menons par le sommet (O, D^).du cône asymptote un plan D'E'F parallèle à PQRS on voit qu'il coupe le cercle Qa en deux points Ë et F, et le cône asymptote suivant deux arêtes projetées sur OF et 0£.«Donc, afi necoiv* sidérant d'abord que la première OF, et lui menant deux parallèles d^a-, 26, qui soient tangentes au cercle de gorge, ce seront là deux génératrices de l'hyperbo-. loide qui n'iront rencontrer le plan PQR' qu'a l'infini et qui annonceront l'exist tence d'une branche indéfiniment prolongée. Pour obtenir l'asymptote, j'observe que le plan tangent de l'hyperboloïde dans ce point infiniment éloigné, devant contenir (n^ 155) les deux génératrices a^ et Se qui se coupent en ce point, aura pour trace horizontale la droite aS; et comme ce plan doit. fournir par sou inter* section avec le plan PQR' l'asymptote demandée, cette ligne se trouvera évidemr ment parallèle à aâ. Si donc, par le point. Q où se coupent les traces PQ et aS, on mène la droite dco parallèle à aJ", ce sera l'asymptote qu'il s'agissait de construire.

279. On pourra répéter des constructions semblables pour la seconde brancu*^ infitiie qui est indiquée par l'autre arête 0£ du cône asymptote; mais on doit apercevoir que, dans l'opération précédente, le plan ^aS qui touchait l'hyperboloïde à

l34 LIVBR IV, ^ WTBWECTÏ058 D6 $y|ir4CC8.

une distance infinie sur la génératrice âa, était lui-même tangent an cône asymptote suivant Taréte OF. En effet, ce plan renferme le diamètre e^Osdu cercle de gor^e,. et conséqiiemment Taréte OF ; donc sa trace passera par le point F et sera évidemment perpendiculaire au rayon OF. D'après cette remarque, i) suffira d^ mener au eercle du r^yon OE, la tangente E9 qui, par sa rencontre avec PQ, fournira le point ç^par lequel on devra tirer l'asymptote 9^ parallèlement à OE. Cette seconde asymptote devra couper la première en un poipt tù qui soit pitu^ ^ur la droite OP, puisque celle ci (n^275) fst toujours un axeù^\d^ courbe.

280* $i Ton voulait n'employer qu'une seule de^ deux gépérstrice^efa, gS, qui vont aboutir au point de contact de rasymptote, on pourrait s'appuyer sur cç que la surface étant de révolution, le plan tangeot doit être perpendiculaire f^u plan méridien qui pas^e par le point de cpnt9ct (u^ 1^9). Or ici cç point est k une distance infinie sur oii) donc le méridien correspondant est le plan vcrriciil OF pftr^lèle à OL^ : ainsi le plan tangent cherché aurait pour trace horizontale une droite perpendiculaire à OF et mené^ du point a, ce qui ferait bien retrouver la iigne 9S déjà obtenue autrement,

881. Si le plan DT'F mené par le sommet du cône asymptote, parallèlçmeQt ^ PQR', touchait ce cône suivant une arête unique, c'est-àr<lires'il ^vait la posîtîpp D'B'6, on voit bien (n^'SÇîJ) qu'il serait lui-même tangent à l'hyperboloïd^ dan» le point infiniment éloigné situé sur la génératrice (BD, B'D'); or puisque ee pigp tangent se trouverait ainsi parallèle à PQR', leur intersection serait transportée tout entière k l'infini; de sort9 que la cqurbç d'interjection présent^aft biso encore une branche infinie ^ mail qui n aurait plu^ pf'êifpnptçte.

282. (Fig.ÔQ.) Maintenant, effectuons Je trgcédela çoqrbç suivant laquelle le plan PQR' coupe l'hyperboloïde, et cherchons d'abord le§ fomm^ti située sur Vaxe (OP, R'Q). Nous avons vu (n*273) qu'il fallait tirer 1« droite (R'Ç7, pÇ) parallèle k la génératrice (AD, A'P'), ft joindre les points G et A; mais comme h trace CA ne rencontre pas ici Iç cercle du rayon OP, on doit ep cpnçlure qq'il n'y a aucun sommet réel sur Va%e en question, et que 1^ section est unQ hyper))(^le dont la ligne (OP, R'Q) est Vax^ imaginaire. Alors je chercha le çenlr^ en projetant le point de rencontre u des deux asymptotes sur I4 ligne WQ en ^'; oq biep (n®274, 4**) je prends le milieu ^' de l'intervalle des deiîx pointa 7' et ij' oiî je plan PQR' coupe les deux arêtes extrêmes du côpe asymptote} puis, ea bmn% une section horizontale par ce point o)', suivant la méthode du tï^%7% j'c^tîen» le» deux sommets réels G et H, Cette même méthode appliquée à d'autrei) plans horizontaux, tels que M' V'et V" W, qu'il sera bon de choisir de manière k fournir des sections égales dans les deu?^ nappes, fera trouver de nouveaux point» H $t N, fi et V, de la courbe cherchée s en outre, cette ligne devra évidemment pa$Wf par les points T et S eu Is cercle ABS e»t rencontra pi^r la trme PQ dtt ]^ <

GttAPlTKE II. ^PB8 SBGTIOKg PLANBi. . l3S

auMi bien que par les poiiiU (Z, Z') et (U^ Z') où ce même plan coupe le cerele supérieur A^'B''.

Enfin, comme le cercle de gorge X' Y' est rencotitré par le plan PQR' en deux points projetés verticalement surL'i on en ccHichira leurs projections horizontaleé L et Kk^ dans lesquelles ce cercle et Thyperbole devront se toucher sur le plan horizontal. £a effet, quoique les tangentes de ces courbes dans l'espace soient très-^ dteinctes Tune de l'autre^ elles se trouvent toutes deux dans le plan tangent de Thyperboloide qui, pour cbaque point du cerele dégorge^ est évidemment vertical; d'où U résulté que les projections horizontales de ces deux tangentes se confondront néôéssâirement.

Quant k la construction de la tangente k la section, pour un point quelconque (M^ M'}^ elle s'efTectuei^ait par les mêmes moyens qu'au n''27â.

283. Rabattement, On effectuera cette opération comme dans Tépure précédente» en faisant tourner le plan PQR' autour de sa trace verticale QR', et en portant sur des perpendiculaires à celte charnière^ des distances M'm = IM* M' n =3 IN^ 1 . < •

Quant âux asymptotes^ on rabattra d'abord de la même manière le centre (cj, ^') en tàfi puis, en rapportant les points f et 0 en f'' et d", on obtiendra (f"fù" et V^" pour les asymptotes de la courbe rabattue.

iraOdLÈMfi VUI. Inlêrseciion dune droite avec un kjrferboloide de révolutidH à um nafipeé

284. {Fiy^ôô). lHoun plaçons ici ce problème, parce qu'il n'est qu'une extension de celui que nous avons résolu au n^275, pour une droite qui rencontrait Vûxe de la surface; et nous allons ramener à ce cas particulier la question actuelle^ où la droite proposée aura une position quelconque. Soient ddfic (O, CKZ') l'axe de rbyperboloide, (ADBf A'D'B) la génératrice rectiligne, et (PQ, PQ) la droite dont il <'agit de trouver les points d'intersection avec la surface. Notis la suppo*». son» ici amenée^ par une rotation autour de l'axe, dans une situation parallèle au plan vertical : mais cette opération préliminaire est toujours fort aisée à eSectuer (û?i49); et comme d'ailleurs elle laissera le point d'intersection avec la surface, sur k même parallèle où il était situé d'abord^ il sera bien facile de retrouver ce point dans la position primitive.

285. Gela posé, si le plan Vertical PQ rencontre te cercle de gorge décrit avec le rayon OD^ il coupera la surface donnée que je désigne par H^ suivant une hypers bdle dont l'axe réel sera (XY, X'T), et qui aura pour une de ses asymptotes la droite<A'B', PQ). Il serait donc facile, d'après ces données, de construire celte courbe sur le plan vertical, et sa rencontre avec FQ' ferait alors connaître les points demandés; mais nous nous proposons d'arriver à ce résultat par des con« ÉtmetiOM directes et qui n'emploient que la ligne droite et le cercle. Pour celsi tmflpmaaf ^pie rhy^ierMe dont ftouft Tenons de parler et qui contient les poinU

|36 LIVÏIE IV. — mTERSECTIONS DE SURFACES.

cfrerch^^, tourne autour de la verticale « : elle produira ainsi un second hyperboloîde à une nappe Hj dont le cercle de gorge sera (X^Y, X'Y')y et qui aura pour génératrice rectiligne la droite (aS, A'B'); alors la question primitive se réduira évidemment à trouver les points d'intersection de ce nouvel hyperboloïde Hj avec la droite (PQ, FQ') qni rencôiitre «on axe («, O'Z'); et, par conséquent, nous sommes ramenés au problème du n^ 273.

On décrira donc avec le rayon o P un cercle qui sera la base d'un cône aujriliaire ayant pour sommet le point («, R'); puis, en menant la droite (R'C',«C) parallèle à la génératrice, on déterminera la trace aC d'un plan qui coivpera ce cône suivant |es arêtes wE et ôF. Ces dernières lignes vont renconèrer la génératrice aux points (L, U) et (K, K'), que l'on ramènera sur la droite proposée en (M', M) et (N', N) ; et ces derniers points seront ceux où la droite (PQ, P' Q') perce le second hyperboloïde H2 et aussi le premier H| .

286. Si la projection horizontale PQ de la droite proposée se trouvait imfigenie au cercle de gorge décrit avec le rayon OD, le plan vertical PQ tîouperàit évidemment Phyperboloïde primitif H< suivant deux droites projetées sur A'B' et sur la droite symétrique de cette dernière; dès lors,' la rencontre de ces deux* droites avec P'Q' fournirait immédiatement les points cherchés.

287. Enfin, supposons, comme dans hfig.'ô'jy que la droite proposée (PQ, FQ') se projette en dehors du cercle de gorge OD. Dans ce cas, le plan vertical PQ couperait encore la surface primitive H< suivant une hyperbole, maïs son' à^ réel serait dirigé suivant la verticale R; de sorte qu'en faisant tourner cette courbe autour de celte verticale, on obtiendrait un hyperboloïde à deux nappes, et le problème ne serait plus aussi simple. C'est pourquoi je renverse la question primitive, et je me propose de trouver les points d'intersection de la droite (AB, A'B'), avec Vhyperboloïde H, que décrirait (PQ, FQ') en tournant autour de la verticale O, parce que ces nouveaux points de section seront évidemment à la «éme hauteur que les premiers.

Or, dans ce second hyperboloïde H3, le cercle de gorge qui a pour rayon (OR, R') est nécessairement coupé par le plan vertical AB, et la question rentre tout à feit dans le cas du n® 285 : ainsi, après avoir décrit le cercle de gorge (Xp Y, X'Y') d'un troisième hyperboloïde H^ qui aurait pour génératrice la droite (^, P'R')j on trouvera, comme ci-dessus, les points (jx. M') et (v, N'), où cette dernière ligne serait rencontrée par (AB, A'B*) tournant autour de la verticale D; puis, il resterait à transporter ces deux points sur (AB, A'B'), en les laissant à la même hauteur. Mais les derniers points ainsi obtenus devraient ensuite, pour le problème primitif, être ramenés sur (PQ, P'Q) en les laissant encore dans les mêmes plans horizontaux ; par conséquent, l'opération se réduit à transporter immédiataneot .les points (fi, RT) et (v, N') en (M, M') et (N, N'), qui seront les point» de ren-