INTERSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBES

PROBT-^EME I. Intersection de deux cylindres quelconques.

Î888. {Fig. 70.) Soient ABGKH la base ou la trace horizontale du premier cylindre, et (AZ, A'Z') une de ses génératrices; soient VLMYI et (Y v, Vv') les données analogues pour le deuxième cylindre : on en déduira aisément (n° 109) le contour apparent de chacune de ces surfaces sur le plan horizontal et sur le plan vertical ; puis, pour obtenir leur intersection, il faudra employer des plans sécants qui soient parallèles à la fols aux génératrices de l'un et de Vautre cylindre, et qui produiront ainsi, dans ces deux surfaces, des sections évidemment rectilignes. A cet effet, menons par un point quelconque de l'arête (AZ, A'Z') une droite (ZR, Z'R') parallèle aux gépératrices du deuxième cylindre, et construisons la trace horizon* taleRA du plan qui passerait par ces deux droites; alors nous n'aurons plus besoin que de tirer diverses parallèles à RA, pour être certains que ce sont là les traces de plans propres à couper les deux cylindres suivant des génératrices rectilignes.

289. Considérons le plan sécant RA : il coupe le premier cylindre suivant deux arêtes projetées sur Aa a et Ce 7, et le second cylindre suivant des arêtes projetées sur L/ et Qq; par conséquent, ces quatre droites qui sont dans un même plan, fourniront par la rencontre de leurs projections quatre points a, a, c, y, appartenant à la projection horizontale de l'intersection des deux cylindres. Ensuite, si Ton projette sur la ligne de terre les pieds A, C, L, Q, de ces arêtes, on en conclura leur^ projections veriicales qui fourniront aussi par leurs rencontres mutuelles, les points a', a', c', y', de la courbe d'intersection projetée sur le plan vertical; d*àiUeu£s il faudra, comme vérification, que ces points a et a% a et a%... se trouvent deu3( à deux sur des droites perpendiculaires à la ligne de terre.

On agira de même pour d'autres plans sécants parallèles à RA; mais il est bon de commencer Tépure par déterminer les points remarquables dont nous allons parler, parce que ceux-là sont essentiels à construire, et qu'on pourra ensuite proportionner le nombre des plans sécants intermédiaires, aux intervalles qui resteront entre les points déjà obtenus.

290. Points sur les plans limites. Si l'on tire parallèlement à RA des droites M^B, GHI, dont chacune soit tangente à lune des bases et en même temps sécante par rapport à l'autre base, ces droites seront les traces de deux plans limites entre lesquels se trouveront compris tous le$ points qui sont communs aux deux surfaces;

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lâS tlVRE IV. — INTRRSECTIONS DE SURFACES.

car, au dehors de ces limites, on voit bien que les pUnâ sécants parallèles à RA. ne pourraient plus couper qu'un seul des deux cylindres. D'ailleurs, si Ton applique au plan MNB la méthode générale exposée au numéro précédent, on obtiendra deux points (ê, g') et (/;, b') dans lesquels les génératrices (Mm, M' m') et (Nn, N'n') se trouveront tangentes à la courbe d* intersection dans l'espace; et, par suite, ce contact devra se vérifier sur les deux plans de projection^ comme on le voit dans notre épure. En effet, la droite (M S, W&) est évidemment dans le plan qui toucherait le cylindre LMN au point (S, S'); mais elle est aussi dans le plan sécant MBê qui, par hypothèse, se trouve tangent au cylindre ABC le long de Taréte B6: donc celte droite (Mê, M' 6') est l'intersection des plans tangents aux deux surfaces dans le point (ê, S'), et conséquemment (n* 215) elle est bien tangente à la courbe suivant laquelle se coupent ces deux surfaces.

On prouvera de même que Taréte (N6, N'6') est tangente à la courbe d'idter*section au point (fr, b')) et, pareillement, le plan limite GHI fournira deux )>oiDts (?> /) ^^ {^7 ^') ^^"S lesquels la courbe sera touchée par les arêtes (Gj, G' jf') et (HA, H' A').

291 . Points sur les contours apparents. On fera passer des plans sécants parallèles à RA, par les points A, K, X, Y (*), où aboutissent les arêtes qui forment le contour apparent de chaque cylindre sur le plan horizontal; puis, par la méthode générale du n®289, on obtiendra les points (a, a'), (a, a'), (ft, if), (9, f')f (rf> d% dans lesquels la courbe louchera, mais seulement sur le plan horizontal, les arêtes correspondantes. En effet, au point (a, a') par exemple, la tangente de la courbe dans Tespace est distincte de la génératrice (A a, A'a^] : mais ces droites sont contenues toutes deux dans le plan tangent le long de(Aa, A'a'), et comme ici ce plan est nécessairement vertical, il en résulte que la projection horizontale de cette génératrice coïncidera avec celle de la tangente; par conséquent, elle devra toucher la projection de la courbe sur le plan horizontal, tandis qu*il n*en sera pas de même sur le plan vertical.

Observons, d'ailleurs, que ce sera toujours dans quelques-uns des points dont nous venons de parler que se fera le passage de la partie visible à la partie invisible de la courbe d'intersection,: considérée en projection horizontale. Au surplus, nous donnerons bientôt une règle générale pour distinguer ces parties les unes des autres.

292. De même, si par les pieds V, U, T, G, des arêtes qui forment le contour apparent de chaque cylindre sur le plan vertical, on mène des plans sécants parallèles à RA, on obtiendra des points tels que (e, £'), dans lesquels la courbe tou-

( * ) Ici oii le point K se trouve hors des plans limites , il est inutile de mener un plan sécant par ce point.