CHAPITRE HL — INTERSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBES. iSg

cheray mais seulement sur le plan vertical^ les arêtes correspondantes telles que (Vf, V'e'). En effet, cette génératrice et la tangente de la courbe au point (g, g') sont toutes deux dans le plan tangent le long de (Ve, Ve'); or ce plan étant ici perpendiculaire au plan vertical, les projections verticales de ces deux droites ôe confondent nécessairement* tandis qu'il n'en est pas de même de leurs projections horizontales. Quant à l'arête (Ggr, Gy\ elle touche, il est vrai, la courbe sur les deux plans de projection à la fois; mais cela tient à ce que, dans la figure actuelle, cette génératrice se trouve à la fois sur le contour apparent et dans le plan limite GHI.

Enfin, ce sera aussi dans quelques-uns des points dont nous venons de parler, que se fera le passage de la partie visible de la courbe à la partie invisible sur le plan vertical, parties qui ne sont pas les mêmes que pour la projection hori%on« taie, puisque le point de vue est différent (n^ 106).

293. La tangente en un point quelconque ((, f) de la courbe d'intersection, sera fournie par l'intersection des deux plans qui touchent les cylindres le long des arêtes T< et S/ : or les traces horizontales de ces plans sont les droites Td et S9 tangentes aux bases dans les points T et S; donc le point 9 où se coupent ces deux droites, appiartient à la tangente demandée, laquelle est par conséquent ^r.

Lorsque le poipt & où vont se rencontrer les traces des deux plans tangents, se trouvera trop éloigné, comme cela arrive dans notre épure, on pourra y suppléer de la manière suivante. Le plan sécant MNB parallèle aux génératrices des deux cylindres à la fois, doit couper le plan tangent SQ suivant une droite {itù parallèle à Si, et le plan tangent TQ suivant une autre droite Xtù parallèle à T^; donc la point M où se rencontrent les lignes Xo et jxo, est nécessairement commun aux deux plans tangents, et conséquemment c'est un point de la tangente cherchée ttùO,

Mous n^avons parlé jusqu'ici que de la projection horizontale de la tangente^ parce que le point (r, f) que nous avons choisi pour plus de clarté, se trouvant placé sur le contour apparent relatif au plan vertical, la tangente est projetée sur ee même plan, suivant l'arête Vt'i mais, dans un autre cas, il suffira de projeter sur la ligne de terre le pied 0 de la tangente, et de le joindre avec f] ou bien, on construira aisément les projections verticales des deux droites auxiliaires Xw et fi^ qui, par leur rencontre, fourniront un point tô delà tangente projetée sur le plan ▼ertical.

St94. Remarque L {Fig.^o,) Pour distinguer sur la courbe d'intersection des deux cylindres, les parties visibles d'avec les parties invisibles en projection hori* Eontale, il faut observer que si le cylindre ABK existait seul dans l'épure, les arêtes qui aboutissent sur l'arc ABK seraient toutes visibles, tandis que celles qui tom*beiit sur l'arc AHK ne le seraient pas : de même, si le cylindre XMY subsistait seul, les arêtes visibles seraieVit celles qui aboutissent sur l'arc XVY, tandis que

l4o LIVRE IV. — INTERSEàTIONS DE SURFACES.

toutes les autres ne feraient pas Vues. Mm lorsque lès deiix cylindres «risteront simultanément, il pourra arriver qu'une arête visible sur le premier se trouve cachée en partie par le second; toutefois si cette arête Vient à rencontrei* «né génératrice aussi visible sur ce dernier cylindre, alors elle redeviendra visiMe en cet endroit. D'un autre côté, lorsqu'un point se trouvera sur une arête qui serait invisible, en ne considérant que le cylindre auquel elle apparticfnt, il est évident qu'à plus forte raison ce point demeurera invisible, quand les deux cylindres existeront à la fois; par conséquent, nous pouvons poser les deux règles suivantes :

Un point de la courbe dHntersection sera visible, lorsqu'il sera fourni par ta reiicontre de deux arêtes visibles fune et Vauti^e^ sur chaque cylindre considéré isotément.

Un point de V intersection sera invisible, quand il proviendra de la rencontre 4e deux arêtes dont une, au moins, sera invisible sur le cjlindre auquel elle appartient.

Le lecteur fera aisément l'application de ces règles à là projection horisontali^^ dé Tintersection des deux Cylindres, puisque nous avons indiqué plus haut qiïèllês étaient les arêtes visibles Sur chaque surface considérée isolément ; et p» là^ il se rendra éompté des parties pleines ou ponctuées que présente notfre é|^ufe. ^uaM Jt la projection vertiéale, leé règles précédentes s'appliqueront également; pourvu qu'on se rappelle que, relativement à cette projection, les seules arêtes visibles sor ' le premier cylindre considéré isolément, sont celles qui abloutt^s^ntMir Tare T)ife, et que les arêtes visibles du deuxième cylindre aboutissent toutes sur Tare' VMU.

295. Remarque IÏ. (Figf. 76.) Là rencontre des deux cylindres peut avùir' lieu par arrachement ou par pénétration. Il y a arrachement^ lorsque les traces MNB et GHI des deux plans limites sont, comme dans l'épnre actuelle^ tangentes l'une à la base ABKH, et l'autre à la base XMY, parce qu'alors, sur chaque cylindre, il existe des génératrices qui ne t*on tiennent aucun point de l'intersection, et qu'ainsi ces deux corps ne font que s arracher mutuellenient une paHie de leur surface, tandis que les portions correspondantes aux arcs MON et HKG, conservent leur inlégi'ité dans toute leur longueur. En bntre, il importe d'observer que, dnûs ce cas, toutes les parties de Tintersection formeront une branche unique etnon'mter" rompue y qu'un point mobile pourra parcourir d'un mouvement cdtïtiind, sans cesser d'être sur les deux cylindres à la fois.

Au contraire, quand les traces GHI et CAO dès deux plans limites seront tangentes à la même base, comme dans la fig. 70 bis, alors il y aura pénétration, parce que toutes les génératrices du cylindre XOY entreront dans l'autre corps, et y traceront sur la nappe correspondante à l'arc AH, une première branche fermée} puis, elles sortiront du cylindre par une seconde branche aussi fermée, et située sur la nappé CG. D'ailleurs ces deux courbes dentrée et de sortie seront totalement dîstinctesy et n'auront aucune partie commune par où un point ihôbile poislse passer de l'une à l'autre sans interruption; puisqu'elles te' troutet^ônt séparées^ sUr le

CHAPITBE m. -^ JOTEB8ECTI0NS DE DBUX SURPACEÇ COURBES, i4i

grand cylindre, par les nappes ABC et HKG où il n'existe aucun point de l'intersection*.

Pour mettre sous les yeux du lecteur la réunion des formes les plus remarquables que peut offrir la rencontre de deux cylindres, nous avons consiruitsur la ^gr. 71 : 1*^ Tintersection du cylindre vertical (XY, X'X"Y''y') avec un cylindre oblique dont la base est le cercle (AB, A'B') ; il y a ici pénétration et deux branches séparées, parce que les plans limites pqr et PQR sont tangents à la même base; a** l'intersecUon du même cylindre vertical avec un cylindre oblique ayant pour base (GD> C'D'), et l'on trouve ici une courbe à nœud, parce qu'un des deux plans limites p^r et ST se trouve tangent aux deux bases à la fois; 3*^ l'intersection du premier cylindre XY avec le cylindre oblique qui aurait pour base (EF, ET'), et il y a ici arrachement parce que les deux plans limites pqr et LT sont tangents à des bases différentes. Du res^te, la construction de ces courbes n'a pas besoin d'explications^ d'après la méthode générale exposée aux n°'288 — 291 j nous fçrons seulement observer que, si deux génératrices appartenant aux contonrs apparents/ , comme (X, X'X") e< (FG, F'G'*)^ se trouvaient dans un même plan, la .courbe présenterait en x' i\n. point d'atrêt^ où l'une des branches serait tai^gente à la verticale X'X", et l'autre à la génératrice F' G''.

2©6. fijm^jiQiiE III. Dans tous les cas, l'intersection n'aura pas de branche in- 1 Jinie celles djeux bases sont d^s xcurh^s Jermées, En effet, poqr qu'il existât une branche qyi s'é^epdit ipcjéfiniment, il iaudrait qu'il se trouvât sur un des cylindres une gétiéralri^ parallèle a nne génératrice de l'autre; mais alors, d'après la nature da ces surfaces, toutes les génératrices seraient parallèles entre elles dans les , deux QOi:ps,y et l'intersection n'aurait plus lieu; ou bien, elle se réduirait à me qu\ plusieurs ^foife^. correspondant aux points de rencontre des deux bases, genre.de ligne qui n'exige aucune discussion.

Quand les deux bas^s,. ou l'une d'entre elles, seront des courbes indéBnies, il ^ suffira d'eiçaminer la position des plans limite^ (n^290) par rapport à ces btases, pon^jrecpn naître si quelqu'un, des plans sécants intermédiaires peut aller couper rm^ des b^es aune distancç in^nie. . /

PROBLEME II. Intersection de deux cônes à bas^^quelconqu.^.,

2[97;. {Fig. j%.) Soient (S, S') le sommet du premier cône, et AB la courbe qui lui. sert de base sur le plan horizontal : soient (T, T') etD£ les données analogues, pour le deuxième cône; alors, en menant s^ux bases des tangentes perpendiculaires^ à la ligne de terre, on obtiendra les droites S' A' et S'B', T'D' et T' E', pour les contours apparents de ces deux surfaces sur le plan vertical. Quant au plan horizontal, il n'y a d'antres limites que les traces AB et DE; car ici les sommets se trouvant projetés au dedans des base^, il est impossible de mener à ces courbes des tangentes, partant de&poixUs S et T (n^ 119),. ce qui serait nécessaire pour obtenir des. plans

l4a lÂTM TV. -^ IIITEMECTIOHS DK 8tmFAGeS4

tangents verHcaux, Nous ferons d'ailleurs abstraotton des nappes èupMmrés dfss deux cônes, afin de ne pas rendre invisible, sur le plan horizontal, la branche dHnteraection qui proviendra des nappes inférieures, et qtii doit fixer spédalement notre attention.

298, Pour obtenir Finlersection de ces deux cônes, nous emploierons divers pkmë $écanî$ conàn\\% tous suivant la droite (ST, S'T') qttijoirdlês deux 9ommet$; car de tels plans ne produiront dans les deux surfaces que des sections recti&gnes fiiciles à construire, et d'ailleurs leurs traces horteontales devront évidemtnent passer toutes par le point R. Considérons donc celui de ces plans qui a pour trace la droite quelconque HIFGH : il coupe le cône T suivant deux génératrices projetées sur TF et T6, et le cône S suivant deux générsitrices projetées sur SI et SH ; or^ cette dernière droite rencontrant les précédentes aux points K et M, i\ s'ensuit quo ces deux points appartiennent à la projection horizontale de l'intersection de*mandée. Nous négligerons ici les points de section qui seraient fournis par l'àréte SI, attendu que cette droite ne va couper les gt^nératrices TP et T6 qu'au deli du sommet T, et que, par conséquent, ces points appartiendraient à la branche d'interscction située sur les nappes supérieures, dont nous sommes convenus de faire abstraction.

Quant au plan vertical, il suffira de projeter sur la ligne de terre les pieds F, G, H, des génératrices que nous venons de combiner, et leurs projecttons verticales T'F, T'es S'H', fourniront par leurs rencontres les points K' et Sf de la courbe d'intersection projetée sur ce plan; d'ailleurs, on sait que ces derniers points de* vront être liés avec K et M par la condition de se trouver deux à deux sur une même perpendiculaire à la ligne de terre; ce qui pourrait aussi servir à déduite ceux-là des autres, en n'employant que la seule génératrice S' IF sur le plan ver* tical. On opérera d'une manière toute semblable, pour d'autres droites partant du point R : mais nous recommandons de commencer le tracé de Tépure, par la recherche des divers points remarquables dont nous allons parler ; parce que ceux-ci sont essentiels à construire, et qu'une fois leur position fixée, il sera facile de proportionner le nombre des plans sécants intermédiaires, aux intervalles qui resteront entre les points déjà obtenus.

209. Points sur les plans limites. [Fig. 71.) Si la trace R de la ligne (ST, S'T) n^est pas placée en dedans des deux bases, on pourra mener de ce point deux droites RPQ et RUV dont chacune soit à la fois tangente à l'une des bases et sécanle par rapport à l'autre: alors ces droites seront les traces des plans sécants limites; car on voit bien que tout plan mené par les deux sommets, et qui se trouverait hors de l'espace angulaire VRQ, ne rencontrerait plus qu'un seul des cônes, et, conséquemment, ne pourrait renfermer aucun point de leur intersection. D'ailleurs, si l'on applique au plan limite RPQ le mode général dé consfraetion indip