CHAPITRE 111. ••-•JNTEMBCTiOlfS 0£ DfiUX SURFACES COURBES. l

que au numéro précédent, on obtiendra Je point (L^ L') dans lequel la génératrioft (SLQi S^UQ) se trouvera ton^n^ à la courbe d'intergection dans Tespaoe^ et oè contactdevra se vérifier ^ar les deux plans de proieclionyùomme oo le voit dans notre épure. £n effet, la génératrice (SQ, S'Q') est contenue dans le plan limite RQ qui» par bypolhàse, sa trouve tangent au cône T suivant laréte TLP, et, par suite, dans le point (L, V)i mais cette génératrice (SQ, S'Q') se trouve aussi évidem^ ment clans le. plan qui toucherait le. cône S au point (L, U); donc elle est rinter» section des plans tangents menés aux deux surfaces par le point (L, L'), et, par conséquent (n® 213), elle est bien tangente à la courbe suivant laquelle se coupent ces surfaces.

On prouvera de métoe que le plan limite RUV fournit un point (N, N'), dans lequel la courbe est touchée par Taréte (SV, S'Y') sur les deux plans de pbojectîon^ 300. Points mr les contouri? apparenu. On fera passer des plans sécants par les points fi, £, D, où aboutissent les arêtes quiiorment le contour apparent de chaque Mirface, et par la méthode générale du n^ 298, on obtiendra les points (€, &% (6^ 6')^ (s, ^)i {&^ ^)j dans. lesquels la courbe touchera, mais seulement sur le pian vertical^ les arêtes correspondantes. £n effet, au point (ê, S') par exemple, la tao^» gente de la courbe dans l'espace est très-distincte de la génératrice (8B, &'B^): mais ces droites sont toutes deux dans le plan S'B'B tangent le long de cette fjéoérafrice; et comme ce plan est évidemment perpefiiiiculairQ au pian vertical ^ il en résulte que la tangente et la génératrice dont nous parlons se confondront «& projection verticale^ par conséquent, il faudra que la droite S' fi' touche la courbe sur le plan vertical, tandis que SB sera loin d'être tangente.à la projection horizontale. Observons, d'ailleurs, que ce sera toujours dans quelques*ujas des points dont nous tenons de parler qu'aura lieu le. passage de la partie visible k la partie tavciiblâ de la courbe d'intersection ; c'est pourquoi il est lràs*important de eoUstruire les points situés sur les contours apparents, préférablement à d'autres points qui seraient même très^voisins de ceu;x«là. Au surplus, nous donnerons bientôt une règle générale pour discorner les arcs visibles d'avec les arcs invisible», sur la courbe d'intersection.

501 i {Fig. 7&.) £a tangente en un point quelconque (M^ M'} de Cette courbe, Sera fournie (n^S13) par Tintersection des deux plans qui touchent les conei suivant les arêtes SMH et TMG : or les traces horizontales de ces plans sont les droites H9 et G9 tangentes aux bases; dono iepoint^fi ^ù se couprait ces dernières droites, est le pied 4e la tangente qui, par conséquent, a pour projection horiaontale la droite 6 M. Quant à la projection verticale Ô'M', on l'obtiendra en projetant le {Knnt 6 mt la ligne de terre tnd^^

808. On peut encore se proposer de trouver le point le plus bas et le point le plua haut de la courbe d'iiMeiMOtion, c'est^À-dire «cals ou la ttmgme ma hari^n-

l44 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

taie. Pour cela, il faudra d'abord chercher un plan sécant RjcX tel, qu'il coupe les bases en deux points x et X, pour lesquels les tangentes scjr et XY se trouvent parallèles : cette pi*emière recherche, qui sera plus ou moins facile suivant la nature des courbes AHB et DGE, pourra toujours s'effectuer d'une manière suffisamment exacte, par un petit nombre d'essais faits sur diverses sécantes menées du point R, et pour lesquelles les tangentes aux deux bases convergeront en sens contraire. Cela posé, on appliquera au plan sécant KxX la méthode générale du n^ 298, et l'on obtiendra un point (Ç, Ç'), pour lequel la tangente à la courbe d'intersection serait à la fois dans les deux plans tangents le long des arêtes Tx et SX; mais ceux-ci ayant des traces \r^ et XY qui, par hypothèse, sont parallèles entre elles, ne pourront se couper que suivant une droite parallèle aussi à XY, et par conséquent horizontale. Donc le point (Ç, S^) sera le point le plus bas de la courbe d'intersection, et l'on trouverait le point le plus haut d'une manière analogue.

305. Remarque I. (Fig. 7a.) Pour discerner sur la projection verticale de l'intersection les arcs visibles d'avec ceux qui ne le sont pas, il faut observer que si le cône S existait seul dans l'épure, les arêtes qui aboutissent sur l'arc AQB seraient toutes visibles sur le plan vertical, tandis que celles qui tombent sur l'arc AVB ne seraient pas vues; de même si le cône T subsistait seul, les arêtes visibles de cette surface seraient celles qui aboutissent sur DPE, tandis que toutes les autres seraient invisibles. Mais lorsque les deux cônes existeront simultanément, comme dans la question actuelle, il pourra se faire qu'une arête visible sur le premier se trouve cachée en totalité ou en partie par le second ; néanmoins si cette arête vient à rencontrer une génératrice aussi visible sur cette dernière surface, alors il est clair qu'elle redeviendra visible en cet endroit. D'un autre côté, lorsqu'un point se trouve sur une arête qui serait invisible en ne considérant que le cône auquel elle appartient, il est certain qu'à plus forte raison ce point restera invisible, quand les deux surfaces existeront à la fois. Par conséquent, nous pouvons poser les deux règles suivantes, au moyen desquelles le lecteur se rendra aisément compte des parties pleines ou ponctuées que renferme notre épure sur le plan vertical.

Un point de la courbe d'intersection sera visible, lorsqu'il sera fourni par ta reri' contre de deux giSnebatrices visibles l'une et l'autre sur chaque surface considérée isolément.

Un point de l'intersection sera ikvisible, quand il proviendra de la rencontre de deux génératrices DOirr une, au moins y sera invisible sur la surface à laquelle elle ap' partient.

Ces deux règles sont également vraies pour la projection horizoïltale; mais ici où les deux sommets se trouvent projetés en dedans des bases, il mexiste p^ de plan tangent qui soit vertical, et par suite (n^i06) toutes les arêtes de^l deux cônes