CHAPITRE III. ~ INTERSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBES. l

sont visibles sur le plan horizontal, lorsque chaque surface existe seule et que Ton fait abstraction des nappes supérieures, comme nous en sommés convenus dans les données de la question. Par conséquent, l'application de la première règle nous montre que la courbe d'intersection est visible en totalité sur le plan horizontal, et qu'ainsi elle doit être marquée en trait plein.

304. Observons encore que les règles précédentes sont aussi applicables à Fint ersection de deux surfaces quelconques, pourvu que l'on entende par le mot génératrice^ la ligne droite ou courbe qui, par son mouvement, produit la surface particulière dont il est question ; et qu'après avoir déterminé (n^ 106) le contour apparent de cette surface sur chacun des plans fixes, on s'attache k reconnaître quelles sont les portions de génératrices, situées en avant ou au-dessus de ce contour apparent.

305. Remarque II. Dans l'intersection de deux cônes, comme dans celle de deux cylindres (n^ 295), il peut y avoir pénétration ou arrachement. Le premier cas arrive dans l'épure actuelle, parce que les traces RUY, RPQ, des deux plans limites sont tangentes à la même base; mais cette pénétration n'exclut pas toujours l'existence de branches infinies, comme on le verra dans l'épure yS. Il y aurait arrachement si l'un des plans limites se trouvait tangent à la première base, et l'autre tangent à la seconde.

306. DES BRANCHES INFINIES. (Fig. 73). Prenons pour exemple de cette recherche, le cône qui a pour sommet (S, S') et pour base la courbe ÂHNB, avec le cône qui a pour sommet (T, T) et pour base la courbe DFME. Ce n'est pas en examinant si les deux bases données par la question se coupent ou non, que l'on pourra se prononcer sur l'existence de branches infinies dans l'intersection des deux surfaces; mais c'est en cherchant s il existe, sur un des cônes, quelque généra^ trice qui soit parallèle à une des génératrices de l'autre cône; car, lorsque cette condition n'aura pas lieu, la rencontre de deux génératrices ne pourra jamais se faire qu'à une distance finie, et conséquemment aucune branche de l'intersection ne se prolongera indéfiniment, même quand les bases seraient ouvertes, comme des paraboles.

Maintenant, pour reconnaître s'il existe des génératrices qui soient parallèles, on fera mouvoir le cône S, parallèlement à lui-même, le long de la ligne (ST, S'T'), jusqu'à ce que son sommet soit venu en (T, T'), et l'on construira la nouvelle base ab ou la trace horizontale de ce cône ainsi transporté que je désignerai par S^. Cette base abj qui sera semblable à AB, s'obtiendra généralement en menant du point (T, T') des parallèles aux diverses génératrices du cône primitif S; mais si la base AB de ce dernier est un cercle, comme dans notre épure, il suffira évidemment de tirer la droite (TW, Ta) parallèle à (S'A', SA), et la droite (T'//, Tfe) parallèle à (S'B', SB), puis de décrire un cercle sur ab comme diamètre.

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I46 LIVBE IV. — Il!«TEB8EGtlOm DE SUBFACES.

507. Cela posé, s'il arrivait que la nouvelle base ab n'eût aucun point commun avec la base DE, on pourrait affirmer que les cônes Sj et T n'ont point d'arête coin* mune, et par suite que les cônes S et T n'avaient point d'arêtes parallèles. Donc^ dans ce cas, l'intersection des deux cônes primitifs n'admettrait aucune branche infinie.

308. Si, comme dans l'épure actuelle, la base ab coupe quelque part, en Q par exemple, la base DE du cône immobile T, les deux cônes S, et T auront une génératrice commune projetée sur TQ; puis, lorsque l'on ramènera S, en S, cette génératrice deviendra l'arête SP parallèle à TQ; et, comme vérification, il faudra que les points P et Q se trouvent en ligne droite avec R, puisque RQP sera la trace du plan qui contient ces deux génératrices parallèles. Dans ce cas, il existera certainement une branche d'intersection eyfjiV..., qui convergera vers le point infiniment éloigné où les deux arêtes parallèles SP et TQ tendent à se rencontrer.

Le second point de section qr où se coupent les bases ab et DE, fournira aussi, sur les cônes primitifs, deux génératrices parallèles projetées suivant Tç etSp; et celles-ci indiqueront l'existence d'une autre branche d'intersection sU... qui sera encore infinie.

309. Des asymptotes. Une pareille droite étant la tangente de la courbe pour le point infiniment éloigné où convergent les deux génératrices parallèles SP et TQ, elle sera fournie par l'intersection des plans tangents aux deux cônes, le long de ces génératrices. Or, comme ces plans ont pour traces horizontales les droites V$ et Qd tangentes aux bases, le point 0 où ces traces se couperont, appartiendra à Tasymptote demandée. Inquelle sera la droite d(ù menée parallèlement à TQ; car les plans tangents dont nous parlons, sont tous deux parallèles à cette génératrice. L'asymptote Ç(<> de Tautre branche infinie, s'obtiendra d'une manière semblable; mais par suite de la symétrie que nous avons adoptée ici pour les données, de part et d'autre du plan vertical RTS, cette seconde asymptote devra couper la première sur la droite RTS.

510. Branche infinie sans asymptote. S'il fût arrivé, après la construction du n®306, que la base abàxx cône transporté Sa eût touché en Q la base DE du cône immobile T, ces deux surfaces auraient eu encore une arête commune TQ, et les deux cônes S et T auraient présenté aussi deux génératrices parallèles SP et TQ; conséquemment l'intersection de ces surfaces offrirait encore une branche infinie, mais cette courbe n'admettrait plus d'asymptote. En effet, dans l'hypothèse actuelle, les bases ab et DE ayant une tangente commune en Q, les plans tangents aux cônes Sa et T le long de l'arête TQ, coïncideraient entièrement; donc, lorsque S, serait ramené parallèlement à lui-même dans la position primitive S, les plaD^ tangents le long des génératrices SP et TQ se trouveraient parallèles entre eux; et dès lors leur intersection, qui doit être l'asymptote demandée, se transporterait