CHAPITRE IIÎ. — INTERSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBES

tout entière à une distance infinie, c*est-à-dire qu'elle n'existerait plus pour nous. C'est ce qui arrive dans une parabole du second degré, où les tangentes n'ont pas de limite finie.

Ainsi, généralement, chaque pomf de section entre les bases ab et DE, indiquera l'existence d'une branche infinie douée d* asymptote; et chaque point de contact entre ces mêmes bases, annoncera la présence d'une branche infinie dépourvue dasj'tnp^ iote. Au reste, ces deux circonstances peuvent se présenter à la fois dans l'intersection des deux mêmes surfaces coniques.

311. Après ces recherches préliminaires sur la nature de Tintersection, occupons-nous de construire les diverses branches de cette courbe, et menons d'abord les deux plans limites dont les traces RL, RK, sont tangentes au cercle AB et sécantes à l'ellipse DE. Chacune de ces traces, par exemple RL, fournira trois arêtes projetées sur SN, TM, TL, et situées dans le même plan ; donc leurs rencontres donneront deux points X et jti où la courbe sera touchée par les génératrices TL et TM (n^299). Pour un autre plan sécant BIGHF situé entre les plans limites, on obtiendra quatre arêtes qui fourniront seulement trois points y, ç, /, de l'intersection, parce que la rencontre des deux génératrices SH et TG n'aurait lieu ici qu'au delà des sommets T et S, et par conséquent sur les nappes supérieures des deux cônes, dont nous faisons abstraction par le même motif qu'au n°297.

Les points dont nous venons de déterminer les projections horizontales, se retrouveront sur le plan vertical, en projetant sur la ligne de terre les pieds des génératrices fournies par chaque plan sécant, et en joignant ces derniers points avec V et S'. D'ailleurs, si l'on considère les génératrices relatives au contour apparent des deux cônes, et qui, d'après la disposition actuelle dès données, sont toutes quatre situées dans le plan vertical RTS, on obtiendra immédiatement les points d\ ^, €', qu'il faudra projeter sur RT en rf, cf, e; puis^ comme les points V et U, où se coupent les deux bases, font évidemment partie de l'intersection des deux cônes, cette courbe se présentera ici sous la forme des deux branches distinctes

[df\tfixd,d'f\'^) et (V/ivfiU, V'fxV).

512. Il y aurait une troisième branche d'intersection, si nous avions eu égard aux deux nappes supérieures : mais, dans tous les cas où les bases des deux cônes seront des courbes du second degré, la totalité des branches de l'intersection devra former, sur chaque plan de projection, un système de lignes qu'une droite ne puisse rencontrer en plus de (quatre points. En effet, les équations de deux surfaces coniques étant alors elles-mêmes du second degré, ne pourront conduire par l'élimination d'une des variables x, y, z, qu'à une équation finale du quatrième degré au plus; de sorte que la combinaison de cette dernière équation avec celle d'une droite quelconque, ne fournira jamais plus de quatre sohitions communes.

l48 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

313. Dans l'épure actueUe, nous avons disposé les deux bases et les sooitnets de telle sorte, que le plan vertical RTS partage évidemment, en deux parties égales, toutes les cordes qui lui sont perpendiculaires dans chacune des surfaces coniques, comme UV, LK,..* ; ain8Î, ce plan est un plan PRitrciPAL commun à ces deux 5tirfaces du second degré. Or, on sait qu'alors la courbe d'intersection est non-«eul€ment symétrique des deux cotés de ce plan, mais qu'en outre elle se projette en totalité sur ce plan principal, suivant une ligne du second degré ( * ) ; par conséquent, les courbes c'jul' V et d'ïfd' sont ici des portions d'une même hyperbole. D'ailleurs, la branche X'(^ prolongée jusqu'à la rencontre des deux génératrices A' S' ctE'-T, commencerait alors à recevoir la projection de la courbe suivant laquelle se coupent les nappes supérieures des deux cônes.

314. C'est encore par suite de la symétrie que présente l'intersectioii de ces deux cônes, de part et d'autre du plan vertical RTS, que cette courbe vient couper brusquement les génératrices du contour apparent aux points- d', ù et s'^ au lieu qu'en général, une courbe située sur une surface quelconque doit toucher, enpro^ jection^ le contour appai^ent dans le |)oint où elle le rencontre. En effet, pour ce point, la tangente de la courbe et celle du contour apparent sont toutes deux situées dans un plan tangent qui se trouve perpendiculaire (n^ 106) au plan de projection, et, par conséquent, les projections de ces deux tangentes se confon^ dent : mais» lorsqu'il arrive, comme ici au point {dy d')^ que la tangente de la courbe $e .trouve perpendiculaire au plan vertical, alors la projection de cette droite se réduit à xm point unique d\ et l* élément qui eût été commun à la courbe et au contour apparent, venant à s'évanouir sur la projection verticale, ces deux lignes n'ofïi*ent plus de contact entre elles.

315. {Fig. 73.) En projetant le point & ou | sur la ligne de terre, et menant une parallèle à la génératrice T'Q% on aurait l'asymptote commune aux deux branches p!Y' et X'rf' de l'hyperbole qui reçoit la projection verticale de l 'intersection ; mais les considérations précédentes ne fournissent pas la seconde asymptote de cette hyperbole. La raison de cette différence est facile à apercevoir : car les branches [iW et yd\ quoique indéfinies en elles-mêmes, ne reçoivent plus aucun point de l'intersection au delà de c' et de d' ; ainsi elles sont vraiment limitées, en tant qu'on ^ considère comme appartenant aux deux cônes à la fois, et, par suite, elles u'admettent pas d'aayptotes sous ce point de vue, qui est celui du problème actuel. Au lieu que, des deux brandies fx'V et X'(^', la première est vraiment indéfinie sous tous les rapports (n^ 312); et, quoique la seconde paraisse se terminer au pointe?', quand on la regarde comme le lieu des points communs aux deux surfaces coniques, néanmoins, après un intet*valie imaginaire sous ce rapport» cette

( *) Voy«6 V Analyse appliquée à la géométrie des trois dimenstonsi chap. IX.