CHAPITRE III. — INTERSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBES

braa$he redevient réeUe à partir du point de rencontre des génératrices A' S' et E'T" ; car elle reçoit alors la projection de Tintersection des deux nappes supérieures (n*' 308), qui est aussi une courbe indéfinie* Ainsi, par ce motif, la méthode des intersections devait, fournir l'asymptote de cette branche d'hyperbole-

PROBLÈME m. Intersection dwicme et d'un cy^lindre.

MG. [Fig. 74 0 Comme cette question a beaucoup d'analogie atnec les deux problèmes précédeaits, nous nous contenterons d'en indiquer la solution, par une figure en perspective. Soient donc SAB le cône et CDE le cylindre proposés : on mènera par le sommet S, une parallèle SB aux génératrices du cylindre; et en conduisant par cette droite divers plans sécants, ils produiront évidemment dans les deux surfaces, des sections rectilignes bien faciles à construire, et dont les points de rencontre mutuelle appartiendront à la courbe demandée.

317. Les plans sécants limites s'obtiendront encore en menant, par le point B, deux droites BK et BL dont chacune soit, à la fois, tangente à l'uiie des bases et sécante par rapport à l'autre; et ces plans fourni rcmt des points 011 la courbe sera touchée par les arêtes du cône, ou par celle du cylindre, selon que le plan limite KL coupera F une ou l'autre de ces surfaces, comme nous l'avons démontré au n^ 299.

318. Quand les deux bases seront des courbes fermées, il n'y aura de branche triy?n/^qu'autant.qu'une des génératrices du cône se trouvera parallèle aux arêtes du cylindre^ et on le reconnaîtra immédiatement, puisque alors la droite SB devra aboutir précisément sur le contour de la base ALBK. Encore, faudra-t-il que la tangente en ce point puisse couper la base du cylindre; sans quoi, aucune branche de l'intersection ne convergerait vers la génératrice SB, comme il est facile de l'apercevoir en constniisant la fignre relative à ce cas particulier.

PBOBLÈME iy« Intersection d'un cône et d'tmesplière concentriques.

319. {Fig. 75). Soient (S, S') le sommet et ABCDE... la base du cône proposé.; soient aussi XKY et X'Z'Y' les projections de la sphère qui a son centre en (S, S'), et. que nous supposons réduite ici à l'hémisphère inférieur, afin de laisser voir la courbe d'intersection sur le pl$m horizontal. Nous empknerons, pour couper ces deux surfaces, des plans verticaux menés par le sommet (S, S'); celui de ces plans sécapts qui a pour trace la droite quelconque SM^ rencontre la base du cône au point M^ et^ par conséquent, il coupe cette surface suivant l'arête (SM, S' M'), tandis que, dans la sphère^ il donne pour section un grand cercle. Si donc nous rabattons ce plan SM sur le méridien principal SY, le grand cercle coïncidera avec X'Z'Y', et la génératrice deviendra (SP, ST'); alors ces deux lignes se coupant au point (Q, Q'), il suffira de ramener celutK^i, au moyen d'un arc de cercle horizontal, sur la génératrice primitive en (m, m'}, et ce sera là un point de la courbe d'intersection du cône avec la sphère.

l5o LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE STOFACES,

320. Il bera bon d'appliquer, en même temps, la construction précédente aux deux plans méridiens 8M et SN qui rencontrent la base du cône en deux points M et N situés à égales distances de S, parce que Ton obtiendra, au moyen du même parallèle RQ' de la sphère, un second point (n, n') situé sur la généra trice(SN, S'N'), laquelle viendrait évidemment se rabattre aussi sur S'P\ En outre, on devra spécialement construire, par le même procédé, les points de la courbe d'intersection qui seront situés sut les arêtes