CHAPITRE III. --* IHTEBSEGTIOTO DE DEOX SUBFACES GOUBBES. l5l

cÀne en ce poinr. Or, d'après ce que nous avons dit au n^ 153 pour une «iirface de révolution, il suffira évidemment de mener en QMa tangente Q'T' au méridien principal de la sphère, puis de rapporter la distance D'T en ST, sur le méridien SM, et enfin de tirer perpendiculairement à ce dernier plan la droite Td, qui sera la trace horizontale du plan langent de la sphère pour le point (m, m'). Quant au plan tangent du cône, il touchera cette surface tout le long de la génératrice (SM, S' M'), et par suite il aura pour trace la droite Mo qui touche la base au point M. Donc le point 0 où se coupent ces deux traces, appartient à la tangente demandée, laquelle est par conséquent projetée sur ôm et sur 6' m'.

323. On peut aussi construire le point ie plus haut ou le plus bas delà courbe^ c'est-à-dîre plus généralement les points où la tangente sera horUontalje. En effets puisqu'une pareille droite se trouvera contenue à la fois dans les deux plans tangents aux surfaces proposées, il faudra évidemment que ceux-ci aient leurs traces horizontales parallèles Tune à Tautre. Or, en supposant que le point cherché soit sur la génératrice (SC, S'C), le plan tangent du cône aurait pour trace la tangente au point G de la base, et le plan tangent de la sphère aurait sa trace horizontale perpendiculaire au méridien SCK; ainsi, pour que ces deux traces soient parallèles, il faudra que SC se trouve normale k la courbe ABDE. Donc, en menant du point S dans le plan horizontal, une normale SC à la base du cône, et construis sant par Je procédé général du n° 519, la rencontre de la génératrice (SC, S'C) avec la sphère, on obtiendra le point (c, d) où la tangente de l'intersection se trouvera horizontale. Ce point est ici le plus bas, et Ton aurait le point le plus haut en menant une seconde normale qui aboutirait vers le point L de la base : mais nous n'avons pas exprimé cette dernière construction sur notre épure, parce qu'il en serait résulté de la confusion avec quelques autres lignes essentielles à manifester.

D'après les données actuelles, on ne peut mener du point S que deux normales

à l'ellipse ABDE; mais, pour une autre position de S, le nombre de ces normales

pourra s'élever jusqu'à guafre, ainsi que nous allons le prouver; et alore la courbe

• d'intersection présentera, avec des inflexions, quatre points où sa tangente sera

horizontale.

324, {Fig. 76.) Mezter une kobmale à une courbe plane ABDE, par un point S donné dans son plan. Ce problème, dont la solution serait utile dans la question précédente, ne peut être résolu par une marche directe qu'en traçant d'abord la développée uSâs de h courbe primitive, laquelle développée s'obtient (n° 197) par les rencontres successives des normales menées en des points très-voisins sur la courbe ABDE; ensuite, il reste à tirer du point S une ou plusieurs tangentes à cette développée, opération qui s'exécute avec toute la précision désirable, en dirigeant une règle de manière qu'elle passe par le point S et qu'elle s'appuie sur la courbe aSd^e. La seule incertitude qui pourrait rester ici, porterait sur la position précise

iSa LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES,

du point de contact de cette tangente avec la développée; mais cette position est tout à fait indifférente dans la question actuelle, tandis que le point C, où aboutira la normale sur la développante ÂBDE, sera clairement déterminé.

Si la courbe primitive ABDE est une ellipse, comme dans Tépure précédente, on sait (n**200) que la développée aS&s présentera quatre branches qui se réuniront par des points de rebroussement situés sur les axes; et alors, quand le point donné S se trouvera au dehors de la développée, on ne pourra évidemment tirer à cette courbe que deux tangentes SC et SL, lesquelles seront les normales demandées pour la courbe primitive ABDE. Mais, si le point donné S' se trouve en dedans de la développée, on pourra mener à celte courbe quatre tangentes, savoir SX et S'C* qui toucheront, comme tout à l'heure, les branches c^cet Sa; puis, en outre, deux autres tangentes S'C et S'C qui toucheront la même branche ê^, entre laquelle et les deux axes, se trouve compris le pçint donné S'. Par là nous avons suffisamment jus(i6é l'assertion émise à la fin du n®323, sur le nombre des normales que l'on pouvait mener à la base elliptique du cône, par le point S.

325. {Fig, 77.) Méthode par une courbe d'erreur. Pour résoudre le problème de la normale menée d'un point S à une courbe plane AA'A"A*'..., on donne quelquefois une méthode qui, malgré le défaut grave qu'elle présente, mérite cependant d'être connue. Par un point arbitraire A de la courbe proposée, menons-lui une tangente AT, et abaissons sur cette dernière la perpendiculaire ST. Si le point A était vraiment celui où doit aboutir la normale partant de S, il est évident que le pied T delà perpendiculaire abaissée sur la tangente, devrait coïncider avec A, c'est-à-dire se trouver sur la courbe donnée AA'A"... : la supposition précédente est donc erronée; mais, en menant diverses tangentes A'T', A^T^,..., et abaissant dessus les perpendiculaires ST', ST',..., les pieds T, T', T^,... formeront une courbe d*erreur ou courbe auxiliaire TT'T"..., qui, par sa rencontre avec AA'A"..., fournira le point !N ; et alors la normale demandée sera SN.

526. Malheureusement, il arrive que la courbe auxiliaire TT'T^..., loin de couper AA'A". . . sous un angle bien prononcé, ce qui serait nécessaire pour accuser nettement la position du point N, se trouvera toujours tangente à la courbe primitive. Par conséquent, cette marche laissera autant d'incertitude sur la position de N, que si, après avoir mené les normales aux deux points voisins A et A% et avoir reconnu que Tune passait au-dessus de S et l'autre au-dessous, on se fût contenté d'estimer, à vue d'œil, la situation de N entre les points A et A'. Il faut donc avoir soin, dans tous les problèmes où l'on emploiera une courbe d'erretir, d'éviter l'inconvénient que nous venons de signaler, et qui aurait encore été plus sensible, si le point S eût été placé en dedans de la ligne A A'A". . . ; parce qu'alors la courbe d'erreur aurait tourné sa concavité vers AA'A ''..., et qu'elle eût ainsi laissé plus d'incertitude sur le lieu du contact véritable.