CHAPITRE m. — INTEBSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBES. r

Qupi qu'il en soit, observons que, quand Ja ligne donnée A A' A"... sera fermée, la cQurhe d'erreur Tï'ï".,. sera pareillement fermée, et que, si le point S çst placé au dehors de la courbe primitive, la courbe d'erreur passera deux (bis par ce point S, en y offrant un nœud suivant la forme

T^r'rsT*rT*T^...

D'ailleurs, elle touchera une seconde fois en n la ligne donnée AA'A"..,, ce qui fournira une seconde normale Sn, dont la direction ne coïncidera pas, en général, avec celle de la première normale SN, quoique cela arrive ici à cause de la forme circulaire que nous avons adoptée pour la ligne primitive.

527. {Fig. 77, ) Meiïer une tangente à une courbe plane BB'B". . . par un pointS donné dam son plan. Quoiqu'il suffise, pour obtenir la direction de cette tangente SM avec toute l'exactitude que comportent les opérations graphiques, de diriger une règle de manière qu'elle passe par le point S et qu'elle s'appuie sur la courbe BB'B"..,^ néanmoins il reste quelque incertitude sur la positiqp du point de contact M; et si l'on a besoin de connaître celui-ci avec précision, on pourra le déterminer, au moyen d'une combe derreur, en, admettant toutefois que Ton sait mener les tangentes à la ligne BP'B"... par des points donnés sur cette courbe.

On construira les normales BT, B'X', B"!'",... pour divers points pris sur la ligne donnée, et l'on abaissera sur ces normales, les perpendiculaires ST, SP, SI",..., Alors on sent bien que si B", par exemple, était le point de contact de la tangente partie de S, il devrait arriver que le pied T'' de la perpendiculaire abaissée sur la normale en B', coïncidât avec le point B", c'est-à-dire que T" devrait se trouver sur la courbe donnée; et puisqu'il n'en est pas ainsi, la supposition précédente est erronée: mais il en résulte que la courbe d'erreur TT'T"... devra passer par le point de contact que l'on cherche, et, par conséquent, ce point M sera fourni par l'intersection de la ligne TT'T''... avecBB'B"..,. Ici ces deux courbes se coupent véritablement, et la méthode n'est pas sujette à l'inconvénient signalé au n^326; d'ailleurs, comme la courbe d'erreur rencontre une seconde fois en m, la ligne donnée BB'B'..., il y a une seconde tangente Sm que l'on peut mener du point S.

528. {Fig. 74 bis.) Autre solution. Voici une nouvelle méthode qui aura l'avantage de ne pas exiger que l'on sache construire les normales, ou les tangentes de la courbe proposée, pour des points assignés sur cette ligne. Soit XMY la courbe à laquelle il s'agit de mener une tangente par le point S : je tire de ce point une sécante quelconque SBA sur laquelle j'élève deux perpendiculaires Aa, et BS, égales chacune à la corde interceptée AB, et partant des deux extrémités de cette corde, mais dirigées l'une en dessus et l'autre en dessous de la sécante; je répète cette opération pour d'autres sécantes SB'A', SB" A",,.., et la courbe a*aS6'' déterminée