CHAPITRE I. — PLAR8 TANGE!fT8 PAB UN POINT EXTÉRIEUR

un plan MM'M'^N qni coupera les paraboles suivant des ardonnées^ MP, M'P, M" ?,.,., respectivement parallèles aux tangentes AT, AT', AT",..., de cescQurbes« Alors, pour de telles ordonnées, on sait que la sous-tangente sera constamiiient double de l'abscisse commune AP; par conséquent, toutes les tangentes eu Mi M', M%..,, aboutiront au même point V, et formeront ainsi un cône circonscrit qui touchera le paraboloïde le long de la courbe plane MM'M'N. En outre, on voit que le plan de cette courbe est parallèle au plan langent en A, lequel remplace ici le plan diamétral conjugué avec YX- ; car ce dernier serait à une distance infmie.

Dans Tellipsoide de hjig. 80, le plan tangent en A était aussi parallèle à BB^B^'C, et par suite à la courbe de contact MIM' M "N; mais nous n'avons pas voulu employer alors ce plan tangent pour la démonstration, parce qu'il n'existerait plus dans les hyperboloïdes, si le diamètre VO ne rencontrait pas la surface.

PROBLEME I. Ttxmver la courbe de contact (Vjine sinface de révolution, avec un cône circonscrit dont le sommet est donné.

556. (Fig. 84.) Soient (O, TZ') l'axe de révolution que nous regarderons comme vertical, et (X'C'Y'iy, CD) le méridien principal de la surface. Ici, cette eourbe est une ellipse dont un diamètre principal coïncide avec l'axe de révolution ; mais la méthode que nous allons exposer est tout à fait générale, et applicable à un méridien quelconque. Soit d'ailleurs (V, V) le point assigné pour le sommet du cône circonscrit : la courbe X'M'Y', suivant laquelle il touchera l'eliipsorde, peut se déterminer en construisant successivement les points qui se trouvent sur chaque parallèle de la surface, ou bien ceux qui sont situés sur les divers méridiens; ce qui va donner lieu à deux méthodes, dont chacune suffit à elle seule pour tracer la courbe demandée.

557. Méthode du parallèle. Soit (E'F',* EMF) le parallèle choisi arbitrairement sur la surface de révolution que nous désignerons par S : en substituant à celle-ci un cône droit engendré par la révolution de la tangente E'Z' autour de Taxe, il est évident que ce cône touchera la surface S tout le long du cercle E'F', et qu'ainsi tout plan tangent qui sera mené à ce cône par le point (V, V') touchera S dans le point où Taréte de contact rencontrera le cercle E'F'. Par conséquent, ce point de rencontre appartiendra à la courbe demandée X' M' Y', qui n'est autre chose (n« 349) que le lieu des points de contact des divets plans tangents menés à la surface S, par le point {y, y).

558. La question est donc réduite à trouver un plan qui, partant du poiijt (V, V), aille touche»^ le cône Z'E'F' : car on y parviendrait (n° 125) en joignant le sommet (Z', O) [*] avec (V, V'), puis en cherchant le point où cette droite

[•] Les irois points désignés par Z' dans noire épure, sont censés représenter le point unique où la tangente E'Z' irait couper Taxe vertical, point qui est le sommet du cône droit, mais qui n'a pu se trouver ici ren&rmé dans le cadre.

l68 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... N'eST PIS DONNÉ, irait couper le plan horizontal E'F', en menant enfin de ce dernier point des tangentes au cercle (ET', EMF). Mais comme le sommet (Z', O) peut se trouver, ainsi que cela arrive ici, placé à une distance incommode, et que d'ailleurs le point d'où partiraient les tangentes à la base du cône varierait aussi à mesure qu'on changerait de parallèle, nous allons employer une marche qui obviera à ces deux inconvénients.

Adoptons pour base du cône droit le cercle (G'H', GPH), suivant lequel il est coupé par le plan horizontal Y' G' H' : alors cette nouvelle base contenant dcmsson plan le point donné (V, V), il deviendra inutile de recourir au sommet du cône, et il suffira de mener les tangentes à la base actuelle par le point (V, V), D'ailleurs, comme ce sont les points de contact qui seuls nous intéressent, décrivons sur la droite VO, comme diamètre, une circonférence qui coupe le cercle GPH aifx points P et Q, et les rayons OP et OQ seront évidemment les projections horizontales des génératrices suivant lesquelles le cône droit sera touché par les plans tangents menés de (V, V). Donc, en prolongeant ces rayons jusqu'au parallèle donqé £MF, les points M et N, que Ton projettera sur E'F' en M' et N', seront deux points qui appartiendront (n^ 557) à la courbe de contact de la surface S avec le cône circonscrit dont le sommet serait en{V, V).

559. Pour trouver les points de cette coiu*be qui seront sur un autre parallèle, on agira d'une manière toute semblable; et la même circonférence ^ décrite siur VO comme diamètre, servira pour toutes ces opérations, puisque les tangentes à la base du nouveau cône droit devront encore partir du point (V, V). Par exemple, si nous considérons le parallèle {W¥'% EMF) égal au précédent, il faudra tirer la tangente E'^G'' qui, en tournant autour de Taxe vertical,, décrirait un ^ô|ie droit

. dont la base, considérée dans le plan horizontal V G', sera le cercle (G'^H"', G'' P'H'^ : celui-ci étant coupé par la circonférence VO en deux points P" et Q", le» rayons OP" et OQ" sont les projections horizontales des arêtes de contact du cône droit G'*E''F*ir avec les plans tangents qui lui seraient menés par le point (Y, Y'); puis, la rencontre de ces rayons avec leparallèle (EMF, E'" F"') fournira les points {Wj ^I*)» (N*', W) situés sur ce parallèle, et appartenant à la courbe de contact de la surface S avec le cône circonscrit qui a son sommet en (V, V).

560. {Hg- S^.) Métliode du méridien. Pour trouver les points de cette même courbe, qui sont situés sur un méridien quelconque a OS, imaginons par tous les points de cette méridienne des droites perpendiculaires à son plan, et dont l'ensemble formera un cjUndre horizontal, évidemment circonscrit k la surface S le long de cette courbe méridienne. Alors, si parle point (V, V) nous menons à ce cylindre un plan tangent, ce dernier se trouvera aussi tangent à l'ellipsoïde dans le point où il touchera la base du cylindre; et, par conséquent, ce point appartiendra à la courbe cherchée, puisque celle-ci (n** 549) est le lieu de tous les