CHAPITRE I. — PLANS TANGENTS PAR UN POINT EXTÉRIEUR

pointa de contact de Tellipsoîde avec les plans tangents qui partiraient de (V, V). Or, pour construire ce plan tangent au cylindre horizontal, il faut (n° 116) tirer du point (V, V) une parallèle aux génératrices de cette surface, c'est-à-dire une droite (VP", V'H'^) perpendiculaire au plan vertical aOê qui contient la base dû cylindre; puis, du point P", où cette droite rencontre ce plan méridien, mener à cette base une ou plusieurs tangentes. Mais pour réaliser cette dernière opéra* tion, je rabats la méridienne aOS sur le plan vertical, ainsi que le point P''; ce dernier se transporte évidemment en (H'', H*^, et en tirant les tangentes H*'?', H*F^, j'obtiens lés points de contact (9', 9), (F*', F) sur la base du cylindre rabattue; donc, en les ramenant par des arcs de cercle horizontaux dans le méridien primitif aO S, ils auront pour véritables positions (ij;, Y) et (M'', M'^).

361. Ce dernier point coïncide avec un de ceux que nous avons obtenus par la méthode du parallèle, parce qu'ici le plan méridien OaS a été choisi de manière à renfermer le point (M'', M"") déjà construit; et nous avons adopte cette disposition, afin de montrer clairement que, si les deux méthodes s'appuient sur des considérations très-différentes, elles emploient du moins les mêmes opérations gra^ phiques, exécutées dans un ordre précisément inverse, comme on doit le voir ici pour le point (M", M'*). Au reste, quelle que soit la méthode que Ton emploiera, jl est des points particuliers qui s'obtiendront par un procédé direct; et nous recommandons de commencer l'exécution de répure par la recherche de ces points remarquables. 562. Points sur les contours apparents. Quant à ceux qui seront situés sur Téquateur (CD', CLD), il est clair que les plans qui toucheront Tellipsoïde en ces points se trouveront verticaux, et dès lors leurs traces horizontales seront les tangentes VL et VK partant du point V; d'ailleurs, les points de contact L et K se trouvant déterminés en projection horizontale, par la rencontre du cercle CLD avec la circonférence dont VO est le diamètre, il suffira de projeter L et K en L' et K' sur CD'. Observons, en outre, que ces deux points, étant sur le contour apparent de la surface relativement au plan horizontal, formeront les limites communes de tare visible LMXK et de l'arc invisible LM'YK sur cette projection; au surplus, le premier de ces arcs se distinguera aisément de l'autre, en examinant si l'un de ses points (M, M') est placé au-dessus de l'équateur CD'.

De même, pour les points situés sur le méridien principal (X'CY'D', CD), les plans tangents de Fellipsoîde se trouveront (n'' 129) perpendiculaires au plan vertical; ainsi leurs traces passeront par le point V et seront les deux tangentes V'X', V Y', dont les points (*) de contact X' et Y' devront être projetés en X et Y sur CD. D'ailleurs, comme ces deux points sont placés sur le contour apparent

(*) Il suffirai de mener ces tangentes avec une règle appuyée sur le point V et sur le méridien ; mais, ensuite, il faudra fixer leurs points de contact avec prédÂon , en se servant des cordes supplémentaires de Tellipse méridienne.

4^ étUt, 22

170 LIVRE V, —PLANS TANGE^'TS DONT LE POINT... n'EST PAS DONNÉ, de la surface par rapport au plan vertical, ils sépareront l'arc visible X'M'Y' de l'arc invisible X'N'Y' sur celle projection ; et Ton distinguera Je premier de ces deux arcs, en examinant si l'un de ses points (M, M') est placé en avant du plan vertical CD qui contient le méridien principal.

565. Points limites. Nous entendons par là les points où la tangente de la courbe de contact se trouxtera horizontale , et qui seront, par conséquent, plus haut ou plus bas que tous les points voisins. D'abord, cette circonstance ne pourra se rencontrer que dans le méridien VO qui passe par le sommet (V, V) du cône circonscrit. En effet, la méthode générale qui a fourni (n*" 358) les points (M, M') et (N, W) montre évidemment que les divers points de la courbe sont, deux à deux, situés sur des cordes horizontales {MN ^ M'N') que le plan vertical VO divise chacune en deux parties égales^ donc, lorsqu'un de ces points correspondants se trouvera dans le plan vertical VO, l'autre s'y trouvera aussi, et, par suite, la corde relative k ces points ainsi confondus sera devenue tangente k la courbe, sans avoir cessé d'être horizontale. Ainsi les points le plus haut et le plus bas sont bien dans le méridien VO.

Maintenant, pour déterminer ces points limites, j'observe que la droite qui join* drait l'un d'entre eux avec(V, V) serait nécessairement tangente à la méridienne VO, puisqu'elle se trouverait à la fois dans le plan de cette courbe et dans le plan tangent de l'ellipsoïde. Donc, si je rabats cette méridienne sur le plan vertical, ainsi que le ppint (V, V) qui sera transporté évidemment en V^; puis, si je mène la tangente V"U' dont je déterminerai exactement le point de contact U' au moyen des cordes supplémentaires, il n'y aura plus qu'à projeter ce point U' en U, et à le ramener, par un arc de cercle horizontal, dans sa véritable position (R, R'). Ce 3era là le point le plus bas de la courbe, et la tangente horizontale VW indiquera le dernier des parallèles qui peuvent contenir des points de cette ligne.

Le point le plus haut (T, V) s'obtiendrait semhlablement; mais nous n'avons pas voulu effectuer la construction qui s'y rapporte, dans la crainte de jeter quelque confusion sur la figure.

564. Dans l'exemple actuel, où la surface de révolution est du second degré, la courbe de contact est nécessairement plane (553), et ici c'est une ellipse qui ft pour un de ses axes, dans l'espace, la droite (RT, R'T'), puisque les tangentes aux extrémités de cette ligne lui sont perpendiculaires, attendu qu'elles le sont au plan vertical VO (n^* 565). Il serait même facile d'en conclure le deuxième axe et les deux autres sommets, en faisant une section horizontale dans l'ellipsoïde par le milieu de la droite (RT, R'T'); et l'on doit observer que ces deux diamètres principaux resteront les axes de la projection horizontale RLTK, parce que, Tui^ d'eux étant horizontal, l'angle compris entre leurs projections demeurera droit; tandis que sur le plan vertical, ces deux diamètres ne seront plus perpendiculaires l'un