CHAPITRE I. — PLAWS TANGENTS PAR UN POINT EXTÉRIEUR. I

à Tautre, et deviendront simplement deux diamètres conjugués obliques de la courbe

36o, Remarque. Si Ton se rappelle que toute surface de révolution peut être considérée comme ienveloppe d'un cône mobile (n^ 194) toujours circonscrit le long d'un parallèle, ou bien encore comme t enveloppe d'un cylindre mobile (n® 196) toujours circonscrit le long d'un méridien, on sentira que, dans les deux méthodes employées n^* 557 et 560, nous avons eu pour but de substituer à la surface de révolution proposée, une enveloppée conique ou cylindrique, pour la^ quelle la construction du plan tangent mené du point (V, V) était plus facile que pour la surface primitive. Or, comme les surfaces de révolution admettent aussi tmeenvdoppée sphériqu^ {w^ 195) dont le rayon est la normale au méridien, il en résulte une troisième méthode, moins avantageuse dans la pratique, mais qu'il est intéressant de connaître.

566. Troisième méthode par une enveloppée sphérique. {Fig, 84 • ) Avec la normale E'v>' du méridien, traçons un cercle qui, en tournant autoiu* de l'axe vertical, engendrera une sphère évidemment tangente à la surface de révolution S tout le long du piiraUèle £'F' ; puis, imaginons un cône circonscrit à cette sphère, et ayant pour sommet le point donné (Y, Y'). La courbe de contact de ce cône auxiliaire avec 1^ sphère aéra un petit cercle (n^ 555, note) dont le plan se trouvera perpendiculaire à la droite (Y' w', YO); et comme dans les points où ce petit cercle rencontrera le parallèle V^'F, les plans tangents de la sphère seront communs à U surface S, il s'ensuit que ces points appartiendront à la courlie cherchée X'M' Y'. Or, si i)Qus /aisons to.urner simultanément la sphère et son cône circonscrit^ autqur de la verticale O, jusqu'à ce que l'axe (Y'o)', YO) de celui-ci soit devenu parallèle au plan vertical, le sommet (Y, Y') se transportera en Y"; et en menant les tangentes Y"/, Y"cï', le cercle de contact sur la sphère se trouvera alors projeté suivant la corde '/â\ Dans cette situation, ce cercle de contact coupe le parallèle E'F' ^n deux points placés aux extrémités de la corde projetée verticalement sur le point ê' } or, comme la distance de cette corde à Taxe de révolution ne changera pas quand nous ramènerons la sphère et le cône circonscrit dans leurs positions primitives, il est clair qu'en reportant par un arc de cercle le point sf sur le méridien primitif YO en (, et en tirant par ce dernier point une corde per« pendiculaire à YO, les intersections de cette corde avec la parallèle EMF fourniront les points demandés M et N, qu'il faudra ensuite projeter en M' et N' sur B'F.

PROBLÈME II. Par un point donnée mener à une surface de révolution un plan tangent qui la touche sur un parallèle donné.

567, l\ ne sera pas nécessaire ici, comme nous Tavions annoncé généralement au n^ 5^1 , de constrt^ire l* courbe de contact de la surface avec un cône cir-«

17a UVAE V. -PLANS TANGENTS DONT LE POINT..» N'EST PAS DONNÉ.

conscrit; il suffira évidemmeDt d'appliquer au parallèle assigné par la qu^lioa^ la. méthode du n^ 357 ou celle du n'' 366, et l'on obtiendra directeçieffl-t ^pomis de contact des plans tangents demandés. Dès lorç ces plans seront faciles à constrwre (n« 132).

PROBLÈME III. Par un point donné , men$r à une surface deréoolutUmunpkn tangent qui la touche sur un méridien donné.

368. Ce problème se résoudra encore directement, en appliquant au méridien assigné par la question, la méthode expliquée au n^ 360. On connaîtra ainsi les points de contact des plans tangents que Ton cherche^ et ces plans serocA alors faciles à déterminer (n** 132).

PROBLÊME IV. TrcMver la courbe de contact d'une surface qijblconqvb cfu «• cond degré , avec un cône circonscrit dont le sommet est donné.

369. {Fig. 85.) Prenons pour exemple un ellipsoïde à trois, axes inégabx, et choisissons nos plans de projection parallèles à deux des trois plans principaux de ce corps. Alors, les contours apparents de la surface seront les deux eUipses (ABDE, A'D')et (A'C'D'F', AD),^ui auront chacune deux axes communs aTec Vellipsoïde ; et en désigniant par (Y, Y') le sommet du cône circonscrit, nous, cher*

'cherons à déterminer les points de la courbe de contact, qui se trouvent placés sur une section horizontale quelconque G'K'i Cette section est une ellipse ^einfr/a6($ à ABDE, et dont (G' H', GH) est un des diamètres principaux; alors, si nous la re-* gardons comme la base d'un cône auxiliaire qui aurait son. sommet au point T^, où Taxe vertical de la surface est rencontré par la tangente G'T, ce cône VtsTV sera circonscrit à l'ellipsoïde^ En effet, toutes les sections .feôSes dans ia surface par des. plans menés suivant U verticale (O, O'T'), seraient des ellipsefi qui auraient un axe commun (O, C'F').p'ailleursi, pour tous les points de ces ellipses;placées sur G' H', l'abscisse O'V étant la même, la sous* tangep te serait aussi constamment égale à TT'; par conséquent, les tangentes à ces ellipse^ verticales aboutiraient toutes au point T', et formeraient bien le cône circonscrit T' G' H', Cela posé, si nous menons à ce cône auxiliaire un plan tangent partant de (V, Y')^ l'afiéte de contact rencontrera la base G' H' en un point qui appartiendra à la oonrbe de* mandée; car, en ce point, le plan tangent du cône auxiliaire touchera l'eltipsiCHile et passera d'ailleurs par le point (Y, Y'), ce qui est h caractère dirtinclif (n**549) de la courbe de contact de la surface avec le cône circonscrit dont le sommet ser rail en (Y, Y').

370. Maintenant, pour mener du point (Y, Y') un plan tangent au coneT'G-'H', et afin de n'avoir à opérer que sur l'ellipse principale ABD£, donnée imméMale de la question, je prolonge ce cône jusqu'au plan horizontal A'^D", qui a été choisi de manière à couper cette surface suivant une ellipse égale à la précédente; puis, en adoptant cette section (A'^D", ABDE) pour base du cône, et joignait le

CHàPITRt: !. — PLANS TÀNGENtS PAR UN POINT EXTÉRIEUR. 178

commet avec \e poini:(V, V), je cherche là rencontre de cette droite (V'TR', VÔR) avec le platï A'IT; et enfin, du point R je mène deux tangentes RP, RQ à l'ellipse ABDE. Les points de contact de ces tangentes étant fixés avec précision (au moyen des cordes supplémentaires), je tire les rayons OP, OQ, qui seront les projections horilsontales des arêtes de contact, et j'en conclus aisément leurs projections verticales T F, T'Q'. Enfin, ces dernières coupant l'ellipse G'H' aux points M' et N', jelesprojette en M et N, et j'obtiens ainsi les deux points de la courbe de- Biàndée, qui sont placés sur la section horizontale G'H' de l'ellipsoïde.

On atirait pn trouver directement les points M et N, en projetant lï' en H, et: menant par ce dernier point des parallèles HM et HN aui cordes DP et DQ; car, dans deux ellipses semblables, telles que G'H' et A^D', les rayons vecteurs OM et OP sont proportionnels aux demi-axes OH et OD.

.571. Pour toute section horizontale autre que G'H', on opérera d'une manière apdflogué; n^ais s'il'arrî^it que le somniet T' du cône auxiliaire fut à une distante incommode, on pourrait adopter pour base de ce cône la section R'L* fieiitepar le plan horizontal tnené du point (V, Y'); et alors il suffirait de concevoir, p«<r oe dernier point, des tangentes à cette ellipse K'L'. Or ces droites, ainsi q«e leurs points de contact; sont très-faciles à déterminer par une construction directe, samdécrire la courbe^ et d après la seule connaissance dés axes, qui sont ici proportionnels avec AD et BE, et dont l'un est K'L'. Cette construction se trouvera expliquée tout à rheure, dans un cas analogue (n® 574),

572. Points sur les eonlottrs apparents. On les déterminera comme dans le problàme précédent (n** 56&), en menant les tangentes V'X' et V'Y' au contour apparent dé relKpsoifde sur le plan vertical, et projetant les points de contact X' et Y' en X et Y, sur AD. De même, lés tangentes Vx et V/ au contour apparent sur le pian horizontal, fourniront deux points x et /qu'il faudra projeter en Jt:' et / snr A'D'. D'aiHeurs, ces deux systèmes de points indiqueront les extrémités des ivres t^isié^fes sur les deux pians de projection.

575v (Fig. S5.) Les points limkes, c'est-à-dire ceux où la tangente de la courbe «era hamontatey se trouveront nécessairement situés dans le plan vertical VO. En dBfet, ilrésuite évidemment de la construction générale qui a donné les points P et Q, ou M^et N, que les points de la courbe de contact sont deux à deux sur des cordes horizontales (MW, M'N'), constamment 7?am//éfe5 au diamètre conjuyué de OR dans l'ellipse ABDE; et, par suite, chacune de ces cordes est divisée en deux parties égales par le plan vertical VOR*. Donc, lorsqu'un de ces points corresp^tidants se trouvera dans le plan VOR, Tautre y sera pareillement; et la corde qtii les réutrissait sera devenue tangente à la courbe, sans avoir cessé d*ètre horizontale.

374> 'Maintenant, pour construire ces points dont la hauteur sera maximum

174 LIVRE V. — PLAN§ TANGKWTS DONT LE POINT... n'eOT PAS DONNÉ.

OU minimum^ il suffira évidemment de mener, par le point (V, Y'), deux tangentes à la section produite dans rellipsoïde, par le plan vertical VOR. Or cette sec-» tion est une ellipse dont les denii-*axes sont O'C et Oa; et si, en la faisâût tour* lier autour de Taxe (O, O'Z), nous la rabattons sur le plan vertical, ainai que le point (V, V) qui se transportera en V, il s'agira de mener par ce dernier deox Ifngentes à une ellipse dont les demi» axes deviendront O'C et 0'a\ problème qui peut se résoudre sans tracer la courbe» £n efîet^ après avoir construit les foyera ç et (|^ de cette ellipse, je décris un arc de cercle avec le rayon Vf, et un second 9rc de cercle du point \^ comme centre, avec un rayon égal au grand axe de Têiiipse ; alors, ces deux circonférences se coupant aux points ë et 7, on sait (^ ) que Ui droite Vc^, menée par le milieu de Tare fS, est Itf tangente deniandée, et que son point de contact / est fourni par sa rencontre avec la droite ^S. Par consé* quent, il n'y aura plus qu'à ramener le point (ç', 8)dan9 le plan vertical VO, au moyen d'un arc de cercle horkontal, et Ton obtiendra ainsi le point (X, ï!) le plus bfis de la courbe de contact.

De même, la seconde tangente à l'ellipse précédente isera la droite y^fù passant par le milieu de l'arc tpy; et sa rencontre avec ^y déterminera son point de con<> tact (?;', 1;), lequel ramené dans le plan vertical YO, devîendraie point (|x, fi') le plus haut de la courbe en question.

375. On pourrait encore construire, d'une manière analogue, les deux poifits de cette courbe qui seraient placés dans le plan VO', perpendiculaire au plan vertical ; car la section produite dans l'ellipsoïde par ce plan sécant Y^C serait une ellipse dont les axe^ sont faciles à trouver : mais, pour ne pas rendre l'épure difficile k lire, nous laisserons au lecteur le soin de s'exeroer à cette cotistruetton, qui est entièrement semblable à la précédente.

376. Noua ferons observer, en terminant, que la méthode employée ioi pour un ellipsQÎdQ est également applicable à un hyperboloîde, ou même à un parabo* loïde avec les modifications légères qu'amènerait tout naturellement la nature des sections piaula qui seraient faites dans ces surfaces.

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