DES PLANS TANGENTS PARALLÈLES A UNE DROITE DONNÉE

577. [Fig^ 80, ) Soiçnt s une surface queloonquet et YO la droite donnée (ou bien une ligne parallèle à la droite donnée, et mené^ par un point pris arbitraire* ment dans l'intérieur de S) : si, par la ligne YO, nous conduisons divers plans

(*) Voyezy dans les Traités de Géométrie analytique; la méthode graphique des Anciens pour les langeâtes atn saetiotis ootiiques.

OHAPlTtll II. — PLAK8 tANGENtÔ PATKALLÈLÉS A «NE DROITE. . 178 sécants, ils couperont la surface S suivant des courbes ABD, AB'D, AB"D,..., qui pourront toujours être construites par les méthodes générales dti livre IV; et en menant à ces sections des tangentes BU, B'U', B"U%..., parallèles à VO, elles formeront un cylindre qui sera circonscrit à S, c'est-à-dire qui toncheta cette surface tout le Img de la courbe BB'B"E. En effet, le plan tangent de S, relatif au point quelconque B'', renfermera évidemment Taréte B"U'' du cylindre, ainsi que la tangente B'^ à la courbe BB'B"... qui lui sert de base; donc ce plan sera aussi tangent au cylindre, et dès lors cette dernière surface aura un véritable contact avec S au point B% comme aussi tout le long de la ligne BB'B"E.

378. Cela posé, pour mener à la surface S un plan tangent qui soit parallèle d une droite donnée VO, il suffira de chercher la courbe de contact BB'E de cette surface avec un cylindre circonscrit parallèle à VO, puis de construire le plan tangent lie 8 pour un quelconqtie des points de cette ligne de contact; car ce plan touchera iiécessai rement le cylindre circonscrit, et par suite il l'enfermera une de ses arêtes, qui sont toutes parallèles à VO; donc lui-même sera parallèle à cette droite.

Réciproquement, tout plan parallèle à VO et qui touchera la surface S en un certain point que j'appelle 6, contiendra nécessairement une droite menée parallèlement à VO, par ce point A; donc cette dernière droite sera une arête du cylindre circonscrit, et son point de contact 6 devra, par conséquent^ se trotivér sur )a courbe BB'E, qui devient ainsi le lieu exclusif de toutes les solutions du problème proposé.

Ce problème sera donc impossible, quand le cylindre circonscrit parallèlement à la droite donnée n'existera pas; ce qui arriverait, entre autres exemples, dans un paraboloîde, si la droite proposée était parallèle à taxe de la surface; car alors les sections ABD, AB'D,..., seraient des paraboles, lesquelles n'admettent pas de tangente parallèle à leur diamètre principal.

579. 11 résulte de ces principes que la question générale qui nous occupe est susceptible d'ane infinité de solutions, ou bien elle n'en admet aucune^ On doit seulement excepter le cas où S est une surface développable , parce qu'alors, d'après la remarque faite au n^ 550, le plan mobile qui engendre une telle surface, et qui est en même temps son plan tangent, se trouvera complètement déterminé par la condition nouvelle d'être parallèle à une droite donnée. C'est ce que nous avons déjà reconnu pour les cylindres et pour les cônes, dans le chapitre III du livre II.

580. IjC problème de mener à une surface S non développable, un plan tangent parallèle à une droite donnée, redeviendrait déterminé si Ton ajoutait la condition que ce plan dût avoir son point de contact sur une courbe connue; parce qu'alors ce point serait fourni par la rencontre de cette courbe avec la ligne de contact du cylindre circonscrit.

Quant à la construction de cette dernière ligne; qui est aussi fort utile dans la

176 LIVRE V. — PL^NS TANGENTS PONT LE POINT... N'fc%T VA» DOI^NÉ. théorie des ombres, la seule méthode générale est celle que im>ii8 avons indiquée n*^ 377; mais nous donnerons bientôt des procédés plus commodes pour certains genres de surfaces qui se rencontrent fréquemment, après que nous aurons ùÀt quelques remarques sur ces lignes de contact dans les surfaces du second d€|;ré.

381 . La courbe de contact dun cjlindre circonscrit à une surface du second degré est toujours PLANF, et située dans le plan diamétral qui se trouve conjugué avec le diamètre parallèle au cjlindre.

En effet, si Ton conçoit par le centre O de la surface du second degré S {fi^.. 80), une droite VO parallèle à la direction du cylindre, les diverses sections ABD, AB'D, AB^D,..., produites par des plans menés suivant VO, seront des courbes du second degré qui auront toutes un diamètre commun AOD; or, en coupant ces courbes parle plan diamétral BB'E, conjugué avec AD (c'est-à-dire le plan qui diviserait en deux parties égales chacune des cordes parallèles à AD), les intersections seront des droites OB, OB', OB",.-» qui se trouveront nécessairement rfromètres conjugués avec OA, dans chacune des courbes correspondantes. Donc, les tangentes BU, B'U', B'"ll'',..., que Ton mènera à ces sections par les divere points B, B', B",..., seront parallèles à OA, et formeront ainsi un cylindre circonscrit à la surface S, dont la ligne de contact BB'B^' sera placée tout entière dans le plan diamétral BB'E conjugué avec OÂ (*).

Au reste, ce résultat important peut être regardé comme une conséquence du théorème démontré n®353, pour la ligne de contact d'un cône VMM'N circonscrit à S; car, si le sommet V s*éloigne à l'infini sur la droite OAV, il est facile de voir que les divers points de contact M, M', M'',..., se transporteront en B, B', B,....

582. (Fîjjf. 82.) Pour étendre le théorème précédent aux deux paraboloides qui sont dépourvus de centre, imaginez, par l'axe principal OXde la surface, un plan EOF parallèle à la direction assignée pour les génératrices du cylindre, et menez dans cette direction une tangente VBU à la parabole EOF; alors, le plan diamétral, qui coupera en deux parties égales toutes les cordes parallèles à VBU, passera évidemment par le point de contact B de cette tangente, et produira dans la surface une section parabolique BB'B"C. Cela posé, toutes les droites B'U', B"U'',..., menées par les divers points de cette dernière parabole, parallèlement à VBU, se trouveront nécessairement tangentes à la surface; sans quoi leurs parties intérieures, ou cordes, ne seraient plus coupées en leurs milieux par le plan BB'C qui est supposé diamétral et conjugué avec VBU- Par conséquent, toutes les

( * ) Dans le cas particulier où la surface proposée est une sphère , la courbe de contact du cylindre circonscrit devient un grand cercle, perpendiculaire h la direction VO des arêtes du cylindre; résuUat qui se prouve directement , en faisant tourner autour de VO un grand cercle et sa tangente parallèle à cette droite.