CHAPITRE II. — PLANS TANGENTS PARALLÈLES A UNE DROITE

droites BU, S'il', B^'U*,..., formeront bien le cylindre circonscrit que Ton demandait, et Ton voit que sa ligne de contact BB'B'^C avec la surface sera plane et toujours parabolique.

Un raisonnement semblable, fondé sur la définition même du plan diamétral, aurait pu être employé dans le n^ 581.

PROBLEME I. Trouver la courbe de contact d'une surface de révolution, avec un cylindre circonscrit et parallèle à une droite donnée.

385. {Fig. 86.) Soient (0,r Z') Taxede la surface de révolution, et (E'C'E^'D'jCD) le méridien principal, dont la forme particulière n*aura point d'influence sur le succès de la méthode. Soit d'ailleurs (AB, A'B') la droite à laquelle doit être parallèle le cylindre circonscrit : la courbe de contact x'm'y' (*) de ce cylindre avec la surface proposée peut se construire en cherchant successivement les points qui sont situés sur chaque parallèle, ou bien ceux qui se trouvent sur chaque méridien; d'où résultent les deux procédés suivants.

584. Méthode du parallèle. Soit (ET', EmF) un parallèle choisi arbitrairement sur là surface de révolution S; en substituant à celle-ci le cône droit engendré par la révolution de la tangente E'Z' du méridien, il est clair que ce cône toucbera la surface tout le long du parallèle E'F', et qu'ainsi tout plan tangent mené à ce cône, parallèlement k ( AB, A'B'), touchera S dans le point où Tarêle de contact rencon* trera le parallèle ET'; donc ce point appartiendra à la courbe demandée, dont la propriété caractéristique (n^578) consiste en ce que, pour chacun de ces points, le plan tangent de la surface S se trouve parallèle à ( AB, A' B').

Nous sommes ainsi ramenés à conduire un plan tangent au cône ZTT', parai* lèlement à une droite donnée; mais pour ne pas être obligés de recourir au sommet Z' de ce cône, qui pourrait se trouver à une distance incommode, et afin de n'avoir à mener des tangentes que d'un même point fixe, nous modifierons le pro^ cédé général du n^l24, de la manière suivante.

Imaginons que le cône droit Z'ET'a été transporté parallèlement à lui-même, avec le plan tangent demandé, jusqu'à ce que son sommet soit venu se placer en un certain point O'de Taxe vertical (O, TZ'); dans ce mouvement, on sent bien que l'arête de contact aura conservé la même projection horizontale; et la trace horizontale du cône ainsi transporté s'obtiendra en tirant la droite OV parallèle à ZT', et en décrivant, avec un rayon Oe = IV, le cercle epf. Alors, pour mener à ce cône un plan tangent parallèle à (AB, A'B'), je tire dans cette direction la droite (OV, Oa) qui vient percer le plan horizontal au point (a, a') duquel devraient

(*) Comme le problème actuel a beaucoup d'analogie avec celui du n* 5»6, nous emploierons îd des lettres italiques, afin qu*on aperçoive les parties analogues des fig. 84 et 86, sans confondre cependant les deux courbes, qui se trouveront reproduites k la fois dans Tépure 89.