édit

178 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LB POINT... n'eST PAS D02HNÉ. partir les tangentes au cercle epfi mais comme je n'ai besoin que de» pointe de contact, je décris sur Oa, comme diamètre, une circonférence qui, par m rencontre avec le cercle epf^ déterminera ces points p et ^ ; et les rayons Op, Oq seront les projections horizontales des génératrices de contact des plans tangents que l'on cherchait. Maintenant, ces génératrices vont rencontrer le paraUèle (E»mF| E'F'), base du cône primitif, aux points (m, m') et (iî, W) ; par conséquent, ce sont là deux points de la courbe de contact de la surface de révolution avec }e cylindre circonscrit.

585. Les points de cette courbe, situés sur un autre parallèle, se construiront d'une manière semblable, en transportant toujours au point O' le sommet du cône droit circonscrit le long de ce parallèle; et par là, la circonférence décrite sur le dior mètre O a servira pour toutes ces opérations.

Mais il sera fort avantageux de chercher immédiatement les points situés, sur le parallèle E'" F*' égal à E'F', surtout si le méridien se trouve, commua dans cet ..exemple, symétrique au-dessus et au-dessous du plan horizontal CD'; car alors il n*y aura aucunes nouvelles constructions graphiques à exécuter. En effet, si Ton conçoit le cône Z"'E*'F'" circonscrit le long du parallèle E'^F"'; il est évident que se$ génératrices seront respectivement parallèles à celles du cône Z'E'F', de sorte que, quand nous le transporterons au point O', suivant la règle précédente, il coïncidera entièrement avec le cône O' éf\ et toutes les opérations ultérieures redeve- .nant les mêmes que ci-dessus, nous en conclurons que les arêtes de contact avec les plans tangents cherchés, se trouvent encore projetées horizontalement sur les raj^ons Of?, O7, qui, par leur rencontre avec le cercle E?nF, fourniront aussi les points demandés. Toutefois, il y aura ici une petite modification; car on devra prolonger ces rayons au delà de O pour obtenir la véritable position des points cherchés m" et n", que Ton projettera en niT et n"* sur le parallèle E^'F'j et la raison de cette différence tient à ce que ce parallèle était situé sur la nappe si^rieure du cône T^'ETl^'^, tandis que le cercle epf^ auquel nous menons les tangentes ap et aq, se trouve sur la nappe inférieure de ce cône transporté dans la position OV/'.

. 586. Méthode du méridien, {Fig, 86. ) Si Ton veut obtenir les points de la courbe en question^ qui seraient situés sur un méridien donné a OS, on imaginera par tous les points de cette méridienne des droites perpendiculaires à son plan, lesquelles formeront un cylindre horizontal évidemment circonscrit à la surface (k révolution tout le long de cette méridienne. Alors, si l'on mène à ce cylindre auxiliaire un plan tangent parallèle à (AB,A'B'), ce plan touchera la surface S dans le point où il rencontrera la méridienne aê, base du cylindre; et, par conséquent, ce point appartiendra à la courbe cherchée^ qui est (n"" 378) /e lieu de tous les poifU» de contact des plans tarigettis de S menés paralUkmenl à la droite ( AB^ A' B" ).

CfiAnTBB n. ^ PLANS TA5GËNT8 PARALLËtES A UNE DROITE. 179

Pour construire ce plan tangent an cylindre auxiliaire qui est horizontal^ je tire (n**117) la droite (Oa, OV) parallèle à (AB, A'B'), et du pied (a, a') j'abaisse une perpendiculaire ap sur le plan vertical aOê; alors, en joignant le point p avec (O, (y), j'aurais la direction suivant laquelle il faudrait mener une tangente à la méridienne aS, base du cylindre proposé. Mais, pour pouvoir effectuer celte opération, je rabats sur le plan vertical cette méridienne et la droite qui réunirait ks points p et (O, (y) : par là, le point p se transporte en (e, e)et la droite en question devient (Oe, O'e'); je mène donc, parallèlement à cette dernière, une tangente Z'£' au méridien principal, et le point de contact (E', E), étant ramené dans le méridien primitif Oa par un arc de cercle, fournira le point demandé (m, m').

Comme -on peut mener au méridien principal une seconde tangente parallèle à OV, il existe un second point de contact (F*', F) qui, ramené dans le méridien aOSy fournira un nouveau point (m'' m") appartenant aussi à la courbe cherchée.

387. Nous retrouvons ici deux points que nous avons déjà construits par l'autre méthode, attendu que le méridien aOS a été choisi de manière à passer par ces mêmes points ; et par là nous avons voulu manifester cette circonstance remarquable, que si les deux méthodes sont fondées sur des considérations très^diffé* lentes, elles emploient du moins les mêmes opérations graphiques exécutées dans un ordre précisément inverse. Mais, outre les points situés sûr un parallèle ou sur un méridien quelconque, il en est plusieurs qui s'obtiennent par des procédés directs, et nous recommandons au lecteur de commencer le tracé de Tépure par la recherché de ces points remarquables.

588. {Pig. 86.) Points sur les contours apparents. Pour les points de la courbe en question qui se trouveront sur l'équateur (CD', C/D), les plans tangents de la surface seront verticaux; ainsi les traces horizontales de ces plans seront des droites parallèles à AB et tangentes au cercle C/D. Donc, en tirant le diamètre A/ perpendiculaire à AB, les extrémités k et / que l'on projettera sur CD' en A' et t fourniront les points demandés. D'ailleurs, l'arc de courbe qui sera visible sur le plan horizontal, se terminera précisément à ces deux points, puisquUls appartiennent au contour apparent de la surface par rapport à ce plan de projection j et cet arc visible bnnk se distinguera du reste de la courbe, en examinant si un de ses points (m, m*) se trouve au-dessus de l'équateur CD'.

Quant aux points de la courbe qui seront placés sur le contour apparent de la surface relativement au plan vertical, c'est-à-dire sur le méridien principal, on' observera que les plans tangents correspondants se trouveront perpendiculaires au' plan vertical ; donc leurs traces seront des droites parallèles à A'B' et tangentes à* la méridienne E'CE*'. Ainsi, en menant ces tangentes, et déterminant leurs points de contact x' etj\ que l'on projettera sur CD en x et/, on obtiendra les points' cherchée, lesquels formeront aussi les extrémités de l'arc de courbe visible sur le'

r8o LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT. LE POINT... N'eST PA» DOBNÉ.

plan vertical; cet arc sera ici x'nCy*^ parce que l'un de ses points (m, m') Se tMove placé en avant du plan vertical CD qui contient le méridien principal.

589. Les points limites, c'est-à-dire ceux où la tangente de la courbe sera hori^ zontale, se trouveront nécessairement situés dans le méridien Oa parallèle à la droite donnée ( AJB, A'B'). En effet, il résulte évidemment de la construction générale qui a fourni les deux points (m, mf) et (n, n') relatifs à un même parallèle, que ce plan vertical Oa divise en deux parties égales toutes les cordes qui lui sont perpendiculaires, telles que {mn^ m'n'); donc, lorsqu'un de ces points se trouvera dans le plan méridien Oa, l'autre point correspondant devra s'y trouver pareillement, et la droite indéfinie qui les réunissait sera devenue tangente à la courbe sans avoir cessé d'être horizontale.

Maintenant, pour construire ces points placés sur le méridien Oa, j'observe que l'arête du cylindre circonscrit, qui passerait par l'un d'eux, se trouverait néces* sairement tangente à la méridienne Oa, puisqu'elle serait dans son plan; par conséquent, il suffira de mener des tangentes à cette méridienne, parallèlement à la droite (AB, Â'B'). A cet effet, je rabats sur le plan vertical. le méridien Oa et la droite (Oa, O' a') déjà parallèle à (AB, A'B')î cette droite rabattue devient O'a", et en tirant dans cette direction une tangente au méridien principal, le point de contact u' se projette en u; puis, lorsqu'on ramènera ce point dans le méridien {>rtroitif Oa, il prendra la position (r, r^), qui est le point le plus bas de la courbe. Le point le plus haut (^, 1") s'obtiendra d'une manière semblable, en -menant au méridien principal une seconde tangente parallèle à O'.a''; niais dans l'exemple actuel ^ où le méridien est une ellipse, on sait que les deux points de contact de ces tangentes parallèles seraient sur un même diamètre dont le milieu O' restera im* mobile quand on fera tourner le méridien autour de l'axe vertical; par conséquent» les deux points (r, r') et (/, t!) devront encore se trouvei* sur un. diamètre de la surface, et ce dernier point pourra se déduire de l'autre.

390. Cette relation et la dépendance analogue qui existe manifestement ici entre les points (m, m') et (m", m*'), (n, n') et (n*', n*'),..., sont une suite nécessaire du théorème démontré au n"" 581, d'après lequel on a vu que, quand la surface est du second degré, la courbe de contact d'un cylindre circonscrit est tout entière dans le plan diamétral conjugué avec le diamètre (Oa, O'a'); d'où il résulte évidemment que le centre (O, O') de la surface du second degré doit être aussi le centre de la courbe de contact. On peut encore observer que les deux axes de cette courbe dans l'espace sont les diamètres (A/, k'I') et (it, rY), puisque les tangenta menées aux extrémités de chacun d'eux lui sont perpendiculaires (n^ 589). Puis, comme un de ces deux axes est horizontal, ils continueront d'être les diamètres principaux de la courbe en projection horizontale; mais il n'en sera pas de même sur le plan vertical, où ils deviennent simplement diamètres conjugués obliques.

dTAPlTBE lï. -^ PLANS TANGENtS PARALLÈLES A UNE DROITE. i8l

391. Troisième méthode ^ par une enveloppée sphérique. {Fig. 86.) D'après les remarques faites au n^ 365, nous pouvons obtenir les points de la courbe précédente^ qui sont situés s!ir un parallèle donné E'F', en substituant à la surface de révolution S une sphère qui lui soit circonscrite le long de ce parallèle, et dont le rayon sera la normale F'(ù' au point F' du méridien principal. En effet, imaginons un cylindre auxiliaire circonscrit à cette sphère, et parallèle à (AB, A'B'); la courbe de contact sera ici un grand cercle perpendiculaire à cette droite ( 11^381, note)j et comme dans les points où ce grand cercle rencontrera le parallèle E'F', les plans tangents de la sphère seront communs à la surface S, il s'ensnit que ces points appartiendront à la courbe demandée, dont le caractère consiste en ce que chaque plan tangent de S se trouve parallèle à (AB, A'B'). Or, si nous faisons tourner autour de la verticale O la sphère et le cylindre circonscrit, ainsi que la droite (Oa, O'a') qui indique la direction des arêtes de ce cylindre, jusqu'à ce que cette dernière droite soit venue dans la position O'a" parallèle au plan vertical, alors le grand cercle de contact sur la sphère se trouvera projeté suivant le diamètre y'w'd^' perpendiculaire à O'a''; et, dans cette situation, ce grand cercle coupera le parallèle E'F' en deux points placés aux extrémités de la corde horissontale projetée en g'. Mais cette corde ne changera pas de distance par rapport à l'axe vertical Ô, quand nous ramènerons le système dans l'état primitif; par conséquent, si Ton rapporte, par un arc de cercle, le point e' en s sur le méridien Oa, et que Ton tire la corde m en perpendiculaire à Oa, les points m etn, où cette corde rencontrera le parallèle £ m F, seront les points demandés qu'il faudra ensuite projeter sur E'F, en m' et n\

PROBLÈME II. Mener à une surface de révolution un plan tangent parallèle à une droite donnée, et dont te point de contact se trouve sur un parallèle connu.

392. Il ne sera pas nécessaire ici, comme nous l'avions indiqué généralement au n** 380, de construire la courbe de contact de la surface de révolution avec un cylindre circonscrit, dont les arêtes seraient parallèles à la droite donnée; mais il suffira d'appliquer immédiatement au parallèle assigné par la question, la méthode du n^ 384 ou celle du n® 391, ce qui fera connaître le point de contact du plan demandé ; après quoi, la construction de ce plan deviendra bien facile.

PROBLÈME III. Mener à une surface de révolution un plan tangent parallèle à une droite donnée^ et dont le point de contact se trouve sur un méridien connu.

595. On résoudra encore directement ce problème, en appliquant au méridien donné par la question la méthode exposée n°386; car elle fera connaître immédiatement le point de contact du plan tangent cherché, ce qui suffira pour construire ce plan.

PROBLÈME IV. Construire la courbe de contact d'une surface quelcoiïqub du second degré, avec un cylindre circonscrit parallèlement à une droite donnée.

iSa LIVRE T. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... N'EST PAS DONNÉ.

594. En disposant les données de la question comme dans Tépure 85 relative au problème du n^ 369, on substituera d'abord à Tellipsoïde un cône circonscrit le long d'une section horizontale G' H'; puis, on mènera à ce cône TG'H' un plan tangent parallèle à la droite donnée, au lieu de le faire passer par le point (V, V). On sait qu'à cet effet il faudra tirer par le sommet T' une parallèle à la droite assignée par la question, puis chercher le point de rencontre de cette parallèle avec le plan M'ïy* que Ton adoptera encore pour base du cône; et ce sera par ce point qu'il faudra mener des tangentes à l'ellipse ABDE. A cela près de cette modification, les opérations graphiques seront les mêmes que dans le n* 369 déjà cité; c'est pourquoi nous laisserons au lecteur le soin d'exécuter les constructions, qui d'ailleurs seront applicables, d'une manière analogue, à toute autre surface du second degré.

i^OQÛt