CHAPITRE m. — PI.ANS TANGENTS MÇNÉS PAR UNE DROITE. l

ronditiops suivantes : i^ d*étre parallèle à AB; a® de passer par le point V : donc ce plan renfermera bien la droite AVB.

397. On peut encore n'employer que le seul cône VXY, circonscrit à la surface S; car, en menant à ce cône un plan tangent par la droite AVB, on aura évidemment xine solution de la question. Au reste, quand les courbes xj^ XY, X'Y' ne se rencontreront pas, le problème de mener un plan tangent à la surface S par la droite donnée AB, deviendra impossible ; et l'on sent bien à priori q[ue cela doit arriver pour certaines positions de cette droite.

398^. R£MA&QUi:s. Lorsque la surface proposée S est du second degré, on sait (n*^555) que toutes les courbes de contact XY, X'Y', X^Y'",.-! ^^^ cônes çircon» écrits dont les sommets se trouvent sur AB sont planes; par conséquent, les plani de ces courbes ont alors pour intersection commune la corde X/x, quî réunit lei points dç contact des deu^ plans tangents mmh par AB à la surface S. Il est d'ail*leurs facile de voir que cette corde est conjuguée avec le plan diamétral qui passe* rait par AB.

599. En outre, qqand la droite AB se trouvera située dans un plan principal ile la spr£aca S, que nous appellerons horizontal pour simpli6er le langage^ lei plans des courbes XY, X' Y', X" Y",,-? qui sont (n*" 535) respectivement paraïlèlei ^ux plans diamétraux conjugués avec les droites YO, VO', V"0", seront tousvfrv ticMx, et par suite les courbes XY» X'Y',..., se projetteront suivant des droitei qui pa^^ront toutes par le point où se projettera la corde Xjx) puis, compie d'ail-» Jeur4 lei^ cônes circonscrits k la surface S se projetteront eux-mêmes suivant de« couple^ de tangentes à la section principale, on peut eu conclure ce théorème r#^ marquable de géométrie plane : laiton fait mouvoir sur une droite XB le sommet Y iiun angU variable XV Y dhnt les côtés demeurât tangents à un^ courba du second degr^, le§ cordas qui joindront deux à dmx les points de contc^ct de ces tangentes çorr^pon* fiantes se rencontr^ont toutes en un poifU unique, lequel sera situé ^r le diarfiàtre con^ jugué avec la droite AB. Cette dernière circonstance résulte de ce que la corde Xf^ ne trouvait dans le plan x),fj qui est lui-même ( n° 581 ) Je plan diamétral cpojug ué Airec AB.

400. £q re?vMantau problème général qui fait l'objet de ce chapitre, on voit qtie la solution exigera ordinairement le tracé des courbes de contact de 4eu» cdnes^ ou bien d'un cône et d'un cylindre, circonscrits à la sur&ce proposée S; «aisy dans plusieurs cas^ cette marche pourra être simplifiée parles considérationt particulières que nous allons exposer sur divers e^en^ples,

PBOBLÈAIE h Par une droite donnée, mener un plan tangent à um sphère.

401* (Fig, 87. ) Faisons passer nos deux pkns de projection par le centre de )ft sphère donn^; alors les ^eetioDs produites par ces plans, ejt qui formeraient Im contours ap()arenta de la surlt^e, m «rpuireront iiabattues suivant un cercle imique

l84 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... N'EST PAS DONNÉ.

EE'F'F, décrit du point O avec le rayon même de la sphère. Soit d*aîfleurs (AB, A'B') la droite donnée; en imaginant un cône circonscrit à la sphère, et dont le sommet soit en un point quelconque de cette droite, il suffira évidem* ment de mener à ce cône un plan tangent qui passe par (AB, B'A'), pour obtenir la solution du problème proposé; car ce plan renfermera une génératrice du cône circonscrit et une tangente à sabase, qui sont deux droites tangentes à la sphère; et dès lors îi sera lui-même tangent à cette dernière surface.

Choisissons pour sommet de ce cône circonscrit le point (A, A'), où la droite donnée vient percer le plan horizontal. Alors, en menant les tangentes AE et AF au grand cercle horizontal de la sphère, cette surface sera touchée par le cône EAF suivant un petit cercle perpendiculaire à la ligne AO {note du n*^ 355]; par conséquent, ce petit cercle sera vertical et projeté sur son diamètre EF ; puis, comme le plan vertical EF va rencontrer la droite donnée au point (R, R'), c'est de ce point qu'il faut {n? 123) mener des tangentes k la base du cône. A cet effet, je rabats le cercle vertical EF sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de «on diamètre EF, et ce cercle devient ETF; mais, par suite de ce mouvement, le point (R, R'), dont la plus courte distance à la charnière EF était la verticale (R, R'G) se transportera perpendiculairement à cette charnière, à une distance RR"= R'G; donc les tangentes R"S et R'^T feront connaître, en rabattement, les points de contact S et T des plans tangents demandés avec la base du cône, et aussi avec la sphère. A présent, pour ramener ces points dans leur véritable position, je k^lève le système autour de la charnière EF, et, en abaissant sur cette ligne les perpendiculaires SX et T/x, j'obtiens les projections horizontales X et fi des points de contact cherchés. Quant aux projections verticales, j^observe que les points S et T, quand ils seront relevés, auront pour hauteurs au-dessus du plan horizontal les ordonnées SX et Tjx; donc, en prenant sur des perpendiculaires à la ligne de terre les distances IX' = SX, Vfi.'= T/jl, on aura enfin (X, X') et (jx, fi') pour les points de contact de la sphère avec les plans tangents menés par la droite ( AB, A'B').

402. Une fois les points de contact trouvés, il sera bien facile d'obtenir les traces AX et XB', AY et YF de chaque plan, puisqu'elles doivent passer par les points A et F, et se trouver respectivement perpendiculaires sur les projections des rayons menés aux points de contact. Cependant comn^e cette dernière condition n'offrira pas toujours, dans la pratique, toute la précision désirable, on pourra la remplacer par une droite qui unirait le point de contact avec un point arbitraire de (AB, A'B'), ou qui serait parallèle à cette dernière ligne.

403. Deuxième méthode. {Fig. 87.) Outre le cône EAF déjà circonscrit à la ^hère, imaginons-en un second pareillement circonscrit, et dont le sommet soit en (B, B'). Ce dernier touchera la sphère suivant un petit cercle perpendiculaire à la ligne B'O (n®555, note), et par conséquent perpendiculaire au plan vertical

/^ ÇUAPJTW W. — PUS» TÀrîQR»T6 MEWÉfi P4R IJffi; DaOlTIi. iM

à^ projection diuiji lequel est «tuée. cette Kgne; ainsi, en menant la» tangentes B'E' et B'F', ce périt cercle de contact ç^ra projeté verticalement wr ET' qui m $er?i le 4ia«nètre, Or, d'après les conwdératious générales eicppsées au xf 30S> les cercles EF et E'F' doivent passer l'un et l'autre par les points de conttict de la sphère avec les plans tangenU menés par (AB, A'B'); donc ces deux points seront aux extrérnités de la corde suivant; laquelle se coupent ces deux cercles, corde qui a nécessairement pour projection horizontale la droite indéfinie £F, et pour prpjectiou verticale E' F\

Cela posé, rabattons cette corde avec un des deux cercles qui la contieiwwent, par exemple avec le cercle vertical EF, qui, en tournant autour de son diamètre boriaonUil, est déjà venu se placer en ETF^ Pendant ce mouvement» le point (K, R')> OÙ la cprde en question vient percer le plan horiaonfal, restera immobile, parée qu'il esl^ sur la charnière EF; Un second point de celte cprde, par exmiplesa trace verticale (L, IJ\ décrira un arc de cercle dont le rayon sera la verticale y L abaissée de ce point sur la charnière ; donc si^ dans une direction perpendiculaire à £7, on porte la distance LI/^ IJ^^ le point U sera la position que prendra (Ii^ U) après le rabattement de la corde, et cette dernière deviendra KL". Alors les points $ etT^ où celte droite coupiçra le petit cercle rabattu suivant ETF, seroiit les deux eiitrémité^ d? la corde; et il n'y ajura plus qu'à les ramener sur EF, perdes perw pendiculaires SX et T/a, puis enfin à projeter les points X et /x sur E'F', en X' et j*v

iOi. Troisième méthode. {Fig. 87.) Après avoir déterminé seulement les droite^ EF et E'F', au moyen des couples de tangentes menées à la sphère par les points A et B'j et avoir observé que ce sont là les projections de h carde qui réunit les dwx points de contact des plans tangents demandés, on pe\U éviter de tracer unie nour vçlle circonférence, en cherchant la rencontre de celte corde (EF, E'F'javec h grançl cercle qui la contient* Le plan de ce dernier aura pour trace horizontale OK; et, en le rabattant autour de cette droite, ce grand cercle se confondra avec le contour de la sphère. Quant à la corde (£F, ET'), emportée par le même mouvement, elle passera toujours par le point K qui, étant sur la charnière, demeure immobile; tandis que le point (L,L') de cette corde décrira un arc de cercle dont le rayon sera la perpendiculaire abaissée de ce point sur OK. Or, si l'on tire LM à angle droit sur OK, il est facile de voir que le rayon en question aboutira en M, et se trouvera l'hypoténuse d'un triangle rectangle ayant pour côtés LM et LL'j si donc on construit ce triangle KLM, et que l'on prolonge LM d'une quantité M/" = MN, le point /" sera la position que prendra (L, L') après le rabattement de la corde, et, par conséquent, cette droite deviendra R/". Alors les points P et Q, où cette dernière ligne coupera le contour de la sphère, seront les points cherchés quMl faudra ensuite ramener, par des perpendiculaires à la charnière OK, en Xet fi sur EF; puis, enfin, on projettera ces derniers points sur £'F' en X' et fl^ 4* édir 24

l86 LIVRE V. —PLANS TANGENTS DONT LE POINT;.: N'EST PAS DONNÉ.

405. Quatrième méthode. {Fig. 88.) Dans cette méthode, qui deviendrait nécessaire si les deux traces de la droite donnée étaient placées à des distances trop considérables, on regarde comme construits les deux plans tangents menés à la sphère par la droite (AB, A'B'); puis, en les coupant par un plan conduit suivant les rayons qui aboutissent aux points de contact, il est clair qu'on aura pour sections deux droites tangentes au grand cercle contenu dans ce plan sécant, et que la connaissance de ces tangentes suffira pour déterminer les points de contact cherchés. Or il est aisé de construire ces tangentes, parce que le plan sécant dont nous parlons, passant par deux rayons respectivement perpendiculaires aux plans tangents, se trouvera lui-même perpendiculaire à ces deux-ci, et, par conséquent, il le sera à leur intersection (AB, A'B'); ainsi ses traces seront les droites OC et OIV menées à angle droit sur AB et A'B'. D'ailleurs ce plan COiy coupera la droite (AuB/ A'B') en un point (R, R') que l'on sait construire (n^ 30), et d'où il faudra mener des tangentes au grand cercle (*) suivant lequel la sphère est coupée par ce même plan COiy. Pour cela, rabattons ce plan autour de sa trace horizontale OC : le grand cercle en question viendra se confondre avec le contour delà sphère; le point (R, R') décrira autour de la charnière OC un arc, dont le rajon sera la perpendiculaire (RG, R'C) abaissée sur cette droite : donc, en construisant la vraie grandeur GH de ce r^yon, et la rabattant de C en R% ce dernier point sera la position nouvelle de (R, R'), et les tangentes cherchées seront rabattues suivant R^P et R'^Q.

Maintenant, voyons ce que deviennent les points de contact P et Q, lorsqu'on ramène ces tangentes dans le plan COD'. La première, R'^P, rencontrait la charnière OC en un point V qui restera immobile; ainsi cette droite sera projetée horizontalement sur RV, et, par suite, sa projection verticale sera R'V : donc, en ramenant, par une perpendiculaire à OC, le point P en X sur RV, puis en projetant X en X' sur R' V, on obtieudi-a la vraie situation du point de contact (X, V) du premier plan tangent à la sphère.

Quant à la tangente rabattue ^suivant R'-Q, elle va couper ici la charnière OC à une distance' trop considérable pour qu'on puisse tirer parti de ce point immobile. Mais pour y suppléer, j'observe que PQ représente le rabattement de la corde qui unirait les deux points de contact des plans tangents; et comme cette corde renconti'e la charnière OC au point (K, R'), elle a nécessairement pour projections KX et K'X'. Donc, en ramenant, par une perpendiculaire à OC, le point Q en /x sur KX, puis projetant fi en /x' sur K'X', on obtiendra le point de contact (//., fi')

. (^) Ce gt^nd cercle n'est autre chose que la courbe de contact de la sphère avec un cylindre cir* conscrit et parallèle à la droite {AB, A'B'} : de sorte que pour tous les points de cette circonférence > les plans tan^ntsde la sphère sont parallèles à la droite donnée.