CHAPITRE IIL — PLANS TANGENTS MENÉS PAR UNE DROITE

du second plan tangent à la sphère. On pourrait d'ailleurs s'appuyer ausà sur cette considération 9 que la corde (X/x, Vfi') doit évidemment se trouver perpendiculaire au plan AOB' qui passerait par le centre de la sphère et par la droite donnée (AB, A'B').

PROBLÈME II. Par une droite donnée, mener un plan tangent à une surface de révolution dont le méridien quelconque est connu.

406. {Fig. 89.) Soient (O, VZ') l'axe de révolution, (X'C'Y'D', CD) le méridien principal de la surface, et ( AB, A'B') la droite par laquelle il faut conduire lé plan tangent demandé. Nous emploierons ici la méthode générale indiquée aux n^' 595, 396, et conséquemment nous chercherons :

!**• La courbe de contact (XKYRL, X'K'Y'R'U) de la surface proposée avec un cône circonscrit dont le sommet (V, V) est pris à volonté sur la droite (AB, A'W); cette courbe se construira par les moyens employés pour le problème du n^ 356^ et nous avons eu soin de conserver ici les mêmes lettres qui avaient servi dans l'épure 84, relative à ce' problème isolé : de sorte que les explications antérieures s'appliqueront littéralement à l'épure actuelle;

2?. La courbe de contact {xllfr^ x't'ly'r') de la surface proposée avec un cylindre circonscrit parallèlement à(AB, A'B'), laquelle courbe se construira aussi par les moyens employés pour résoudre le problème du n** 585, sur l'épure 8&, dont les notations ont été conservées dans l'épure actuelle.

Maintenant, examinons si ces deux courbes de contact se coupent quelque part, et, pour trouver leurs points de section, gardons-nous de combiner j sur un même plan de projection, une branche pleine ou visible, avec une branche ponctuée ou invisible; car de telles branches, n'étant pas situées sur la même nappe de la surface, ne sauraient se rencontrer. Nous voyons ici que les courbes se coupent en deux points (X, X') et (|ui, [j/)j dont les projections horizontales et verticales doivent d'ailleurs, pour chacun d'eux, être placées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre; alors, d'après les raisonnements développés aux n*^ 595 et 596, ce sont là les points de contact de la surface de révolution avec les plans tangents qui passeraient par (AB, A'B*), et, une fois ces points connus, il sera bien facile de construire, par divers moyens, les traces de ces plans. Nous ferons seulement observer que les traces horizontales devront passer par le pied A de la droite, et être perpendiculaires aux projections OX et Ofi des normales relatives aux deux points de contact trouvés.

407. Cas particuliers. Si la droite donnée était verticale, il suffirait évidemment de mener par son pied deux tangentes k la projection horizontale de l'équateur.

Si cette droite était horizontale, on mènerait un plan méridien qui lui fût perpendiculaire, et, du point où il la rencontrerait, on tirerait deux tangentes à la méridienne contenue dans ce plan; opération facile à exécuter, quand on aurait

l88 LIVRE V»— PLAINS TANGENTS DONT LB POINT,.. N'eST PM DONNÉ.

rabattu ce point et la méridienne en question sur le pUn vertical, commç on Ta fait au n^ 560 pour le point P' de l'épure 84*

408. Deuxième mét/iode. Lorsque la surface de révolution «era du second degré, il y aura beaucoup d'avantage à employer, comme au n** 393, deux cônes cir-^ conscrits dont on placera les sommets aux deux points où la droite donnée ren* contrera le plan de l'équateur et le plan du méridien principal; parc^ qu'alors, d'après le théorème démontré n^ 355, chacune des courbes de coAtact sera projetée suivant une droite sur un des deux plans de projection; et il n'y aura à construire dans toute l'épure qu'tme seule courbe, ainsi que nous l'expliquerons €n détail dans le problème analogue et plus général qui sera traité au n^417.

409. Troisième méthode. En supposant encore que la sur&ce de révolution soit du second degré, on pourra n'employer qu'un seul des deux cônes circonscrits 4ont. nous venons de parler; car, comme la courbe de contact sera (n^ 353) tout entière dans un plan perpendiculaire au plan horizontal (ou au plan vertical), il ai^fiBra de mener à cette courbe deux tangentes par le point où son plan rencontrera la droite donnée (*). D'ailleurs on a vu (n** 574) combien il était facile de con^tniîre ces tangentes avec leurs points de contact, sans tracer la courbe du second degré en question, mais en connaissant seulement ses deux axes; or l'un de ceux-ci s'obtiendra immédiatement, en menant par le sommet du cône circonscrit deux tangentes à l'équateur (ou au méridien principal), et le second axe s'en déduira d'une manière bien facile à imaginer (yojez n** 418).

Nous engageons le lecteur à appliquer cette méthode à un ellipsoïde de révolution; mais ici, pour varier les exemples, nous allons en faire l'appUcatiou à un hyperboloîde gauche de révolution, défini par sa génératrice, rectiligne^ et non par sa méridienne.

PROBLÈME III. Par une droite donnée, mener un plan tangent à len hyperboUAM gauche de révolution.

410. Soient (O, O'O") l'axe vertical de la surface, et (ADB, A'D'A") {fig. 90) la droite mobile qui, en tournant autour de cet axe, engendre (n'' 140) rbypqrbo*' loïde que nous supposons terminé aux deux sections horizontales A' 6' et A" B% également éloignées du cercle de gorge. Nous n'exécuterons pas la représentation de la surface sur le plan vertical, puisque cela conduirait à tracer l'hyperbole méridienne dont nous voulons éviter l'emploi; mais »ur le plan horizontal, nous regarderons la surface comme réellement projetée, et en conséquence nousponctoe* rons les parties de lignes principales qui seront au-dessous de la nappe supérietu^

411. Maintenant, soit (aS, a'ê') la droite par laquelle il s'agit de menw W plan tangent; si du point (V, V), où elle perce le plan horizontal du cercle.de

(*) Cette marche est analogue à celJe qui nous a servi pour la sphère, au n? 404.

CBâPiTRE m. ^ PLAm taugbnts menés par une droite. 189

gôrge^ on imagine un cône circonscrit dont deux des arêtes seront évidemment les tangentes YX et VY, ce cône touchera rhyperboloide suivant une courbe située tout entière (a® 353) dans le plan vertical XY, et qui, par conséquent, sera une hyperbole ayant pour axe réel îa corde XY. Donc, en menant deux tangentes à cette courbe par le point (R> R'), où son plan va couper la droite (a V6, «' V'ê'), on obtiendra les points de contact des plans tangents à Thyperboioide.

4^12. Potir construire ces tàngenteS) il faut d'abord faire tourner autour de Taxe (O, O'CT) le plan vertical XY, jusqu'à ce qu'il prenne la position x/^ parallèle au méridien principal, et alors le point (R, R') se transportera en (r, r'). Dans cette situation, Fhyperbole contenue dans le plan vertical x^* est semblable à la méridienne principale de la surface, et a comme elle, pour projections de ses asymptotes, les droites A'D' et B'D'; de là, et au moyen de Taxe réel xy\ on déduit aisément les deux foyers 9 et ^. Cela posé, pour mener deâ tangentes à cette hyperbole par le point r' (*), je décris un arc de cercle avec la distance r'tp pour rayon, et un autre arc dont le centre soit en t)^ et le rayon égal à xy^ puis^ en tirant la droite r't par le milieu de Tare 97, j'obtiens l'une des tangentes cherchées^ et son point de contact /' sera déterminé par sa rencontre avec la droite ^7. De même, TaUtre tangente sera la droite r'm' menée par le milieu de l'arc f&^ et la ligne ^& prolongée déterminera le point de contact m' de cette seconde tangente.

A présent, il ne reste plus qu'à projeter les points /' et m' en / et m. sur a^y puis à ramener ces points dans le plan vertical primitif XY, en (X^ X') et (/x, fi'). Ce sont ià les points de contact de l'hyperboloïde avec les deux plans tangents menés par M droite (ezê, o^^')i et leurs traces aB^A, et aA|B, sont faciles à construire avec ces seules données.

415. Mais comme, dans l'hyperboloïde gauche, nous savons que chaque plan tangent doit renfermer deux génératrices rectilignes de la surface, lesquelles se coupent au point de contact, on pourra mener par les points X et /a quatre tangentes au cercle de gorge, savoir XAj, XBj, fxA,, fJiBj, lesquelles fourniront, par leure rencontres avec la trace horizontale de la surface, quatre points appartenant aux traces des plans tangents. D'ailleurs les deux génératrices XA^ et /xBg, faisant partie Tune du système (AD, A'D'), l'autre du système (BD, B'D'), iront nécefrsairement se couper (n** 144) en un point qui devra évidemment se trouver sur la droite («S, a'6'); et ce point (s, e') sera précisément celui où celle dtvile ptrcc l'hjpet'bohïde. Il y aurait aussi un second point de section qui serait fourni par la rencontre des génératrices XB^ et |uiA«.

414. Observation. Si le point (V, V), où la droite donnée(aS, a' S') perce le plan

( * ) y^ye^ dHis les Traités des lectioas coniques , la méthode des Jnciens pour mener des tangentes à ces courbes.

1^ LIVKE V. — PLAHS TAHGENTS DONT LE POINT... N'EST PAS DONNÉ, horizontal du cercle de gorge, se trouvait en dedans de ce cercle^ on ne pourrait plus mener les tangentes VX, VY; et cela indiquerait que la courbe de contact de rhyperboloïde avec le cône circonscrit qui a son sommet en (V, V) change de position, et devient une hyperbole dont l'are réel est vertical, et dont le plan est toujours perpendiculaire à l'horizontale YO. Dans ce cas^ on mènerait du point (y, Y') deux tangentes à la méridienne située dans le plan YO, et la corde com« prise entre leurs points de contact serait l'axe réel cherché; ensuite, le reste des constructions s'efl^cluerait d'une manière analogue à ce qui a été &it dans le premier cas.

415. Autre solution. {Fig. 90.) Les remarques faites au n^413 fournissent une méthode. fort simple et applicable à toutes les positions de la droite dcMinée. En effet, si, après avoir construit, par le procédé du n^284, les points d'intersection dé la droite (aS,a'ê') avec l'hyperboloïde, on mène par Tun d'eux (e, g'), des taa* génies eÂ,, eB» au cercle de gorge, ces génératrices, combinées tour à tour avee (a€, (x!&)j détermineront immédiatement les deux plans tangents demandés» qui auront pour traces horizontales aA^ et aBs. Quant aux points de contact, ils seront fournis par les deux autres génératrices partant des points B, et A^ {*). - 416. Il résulte de là que, si la droite donnée ne coupait pas l'hyperboloïde quelque part, il serait impossible de mener par cette droite un plan tangent à h surface; condition qui est évidente à priori, puisque tout plan tangent devant ren» fermer, ici deux génératrices qui se coupent, il y en aura au moins une qui reor contrera la dtt>ite (aë, a'&) située par hypothèse dans ce plan tangent. Seulement, ce point de rencontre s'éloignera à, l'infini, dans le cas tout particulier où ces deux génératrices et la droite (aë, a'&) se trouveront parallèles toutes trois; maiç alors la position du plan tangent n'en deviendra que plus facile à assigner, puis^ qu'il sera évidemment (n^280} tangent au cône asymptote.

PROBLÈME lY. Par une droite donnée, mener un plan tangent à une surface QUELCONQnE du sccond degré.

417. (Ft^.91.) Prenons pour exemple un ellipsoïde rapporté à deux plans de projection, dont. chacun soit parallèle à un plan principal de la surface; celle^i aura pour contours apparents lesellipsesprinci;?a/e5 ( ABDE, A'D') et (A' CD' F, AD) qui ont chacune deux axes communs avec l'ellipsoïde. Soit d ailleurs (BS, R'S-) la droite donnée; les points de contact des plans tangents menés par cette droite seront fournis (n^ 395) par les intersections des courbes de contact de deux cônes circonscrits à l'ellipsoïde, et ayant leurs sommets situés où l'on voudra sur la droite donnée; mais, pour simplifier la construction de ces courbes^ plaçons les

{*) Une solution semblable peut être appliquée à Thyperboloide à une nappe et non de révo* lution. (ro/ejBn*»l590.)