CHAPITRE m. — PLANS TANGENTS MENÉS PAR UNE DROITE

Sommets de ces cônes aux points (V, V) et (v, i/), où la droite (RS, R'S') varen^ contrer les plans des denx ellipses principales qui se trouvent parallèles aux plans de projection.

' 418- Alors, si Ton mène les tangentes Va' et V'(^ à Tellipse A'C'iyF', les points a! et ^ appartiendront évidemment à la projection verticale de la courbe de contact du cône circonscrit (V, V); et cette courbe, qui est plane (n°555), se trouvera projetée verticalement sur la droite a'c^. En effet, comme le sommet (V, V) est situé dans un plan vertical VAD qui divise Tellipsoïde en deux parties exactement symétriqiies, il est certain que les points de la courbe de contact doi* vent être, deux à deux, sur des cordes perpendiculaires à ce plan principal; donc aussi le plan de la courbe cherchée sera perpendiculaire au plan vertical VAD, et s'y projettera suivant la droite cnfi' qxiî réunit les deux points déjà trouvés.

Par les mêmes raisons, la droite («(>, o'c^) est un axe de la courbe dansTespacSi et elle continue à jouir de cette propriété en projection horizontale, où elle fournit les deux sommets a et (?. La direction («y€ du second axe se déduit aisément de là; mais, pour déterminer sa longueur, j'observe que ces deux axes sont proportion-» nels à ceux de la section faite, dans Tellipsoïde, par un plan diamétral iVn^ paral^ lèle à la courbe de contact oid'. Si donc on projette a' en a, et que Y on tire ^6 parallèle à aB, on obtiendra la longueur cùS du second axe cherché; et alors il sera I>ien facile de tracer l'ellipse aXS^Y qui, d'ailleurs, devra passer par les points X et T que Ton déduit de la section X^ et dans lesquels elle touchera évidemment le contour ABDE sur le plan horizontal.

419. Maiïitenant, le deuxième cône circonscrit dont le sommet est en (v, t/) touchera rellipsoide suivant une courbe plane qui, par des raisons analogues à celles que nous aîvons citées plus haut, se trouvera projetée horizontalement sur la droite :rf ; puis, sans chercher la projection verticale de cette courbe, qui s'ob* tiendrait par des procédés semblables à ceux qui nous ont servi pour ie premier cône, on peut tout de suite apercevoir les points de section X et jx des deux courbes de contact, sur le plan horizontal, et reporter ces points en X' et ^il sur afd'. Alors nous avons pour chaque plan tangent demandé, son point de contact (X, X^) ou (|x, fji'), et une droite (RS, R'S') par laquelle il doit passer; de sorte qu'il est bien aisé de trouver ses traces par des constructions dont Tépure actuelle présente seulement les résultats.

420. Autre méthode. (Fig.gi . ) On peut résoudre le problème précédent avec le seul cône circonscrit dont le sommet est en (V, V); car tout plan tangent à ce cône, qui sera mené par la droite (RV, R'V), satisfera évidemment à la question. On cherchera donc le point (R', R) où cette droite est coupée par le plan de la base af&'y puis, on tirera du point R les tangentes RX, et Rfx, à la courbe aYâX : et même, on doit observer qu'il est inutile de tracer Tellipse aYc^X, et qu'avec les

J^fk LIVRE V. ^ fhhVS TANOENTS 0ONT LE POIHT..* n'eST PA8 DONNÉ.

deux deiPMxes oa et uê, on sait construire les points de contact jui et X des tan* gentes Rjul et RX» comme nous l'avons déjà fait dans les n^' 374 et 412. Ainsù \eê points (X, X') et (|ui, [x') seront ceux dans lesquels Tellipsoïde sera touché par les plans tangents conduits suivant la droite (RV, R'V); et, par conséquent, ceg deux plans se trouveront déterminés par une méthode qui aura l'avantage de n'employer que la ligne droite et te cercle.