DES PLANS TANGENTS A PLUSIEURS SURFACES A LA POIS

425. Trouver un plan qui touche en même temps deux surfaces données S et T. Pour résoudre ce problème d'une manière générale, et quels que soient les plans

de projection adoptés^ menons dans l'espace un plan arbitraire P ; puis, cherchons la courbe de contact X de la surface S avec un cylindre circonscrit et perpendiculaire au plan P, question qui rentre dans celle du n^ 577, puisque les arêtes de ce cylindre devront être parallèles à une droite connue, savoir la perpendiculaire au plan P. Déterminons de même la courbe analogue Y pour la surface T, et construisons les projections a: et y de ces deux lignes sur le plan P : alors, en menant une tangente commune aux deux courbes .r et y, ce sera la trace d'un plan n perpendiculaire à P, et qui, touchant évidemment les deux cylindres, sera nécessairement tangent aux surfaces S et T. On obtiendra donc ainsi une solution du problème proposé; mais il y en aura une infinité d'autres n', n",..., que Ton trouvera en répétant des constructions analogues pour divers plans P', P",.*-» choisis dans des directions différentes.

426. On peut lier entre elles toutes ces solutions^ en construisant la surface dé-- 4* édit. a5

194 LIVRE V. —PLANS TANCBNTS OOMT LK POIWT... N'eST PA3 DONNÉ.

veloppablê qui est circonscrite à la fois aux deux surfaces S et T. Pour cela, imaginons que les points de contact m et n des courbes x et^ avec leur tangenle commune sur le plan P, ont été projetés sur les courbes X et Y en M et N; ce seront là les points dans lesquels le plan n touche les deux surfaces S et T; et si Ton construit semblableraent les points de contact M' et N', M"" et N",..., des plans n\ tc",..., la suite des droites MN, M'N', M''N%..., formera une surface 2 qui touchera évidemment S et T le long des courbes MM'M*..., et NN'N"...; mais j'ajoute que mte surface 1 sera déoeloppable. En effet, si les points M et M' sont pris infiniment voisins, le plan tangent n renfermera les éléments linéaires MM' et NTÎ', et dès lors les deux génératrices ME et M'N' seront bien situées dans un même plan, ce qui esl le caractère distinctif des surfaces développables (n° 179). D'aiU leursi on peut regarder les droites infiniment voisines MN, M'N', M'I^'^vm comme les intersecticms consécutives des plans tt, Tf^it"^.,., ou bien comme Ten* veloppe de l'espace parcouru par le plan n lorsqu'il roule sur les surfaces S et T, en demeurant tangent à l'une et à l'autre, ainsi que nous Tavons expliqué aux n^ 482 et 184.

Cela posé, qoand la sui^face 2 sera construite, tous les plans tangents qu'on lui mènera, toucheront parallèlement S et T, et fourniront les diverses solutions du problème primitif.

427. La surface développable 2 circonscrite aux surfaces S et T, est nécessaire à considérer dans la théorie des ombres ; et elle présente ordinairement deux nappes distinctes, lesquelles proviennent de ce que les courbes r et/ du n** 425 peuvent admettre une tangente commune extérieure y et une autre intérieure. An surplus, ces généralités seront éclaircies par Texemple fort simple des deux sphères que nous considérerons au n^437.

428. Lorsqu'une des deux surfaces proposées, par exemple S, est elle-même développable^ le problème de leur mener un plan tangent commun n'est pas en général impossible; mais il n'admet plus une infinité de solutions, comme on doit le sentir en faisant rouler un plan tangent sur la surface S jusqu'à ce qu'il rencontre T; D'ailleurs, dans l'hypothèse actnelie, la courbe x relative au plan P (n° 425) se réduirait i «ne ou plusieurs lignes droites, auxquelles il ne serait plus possible de mener une tangente commune avec la courbe^; à moins que Tune de ces droites ne se trouvât d'elle-même tangente à cette courbe/, ce qui ne pourrait arriver que pour un certain nombre des plans P, P', P",... : de sorte que le problème deviendrait déterminé, et la surface 2 se réduirait alors à un ou à plusieurs plans. Nous en verrons un exemple dans le n** 434.

429. Enfin, le problème n'admettrait en général aucune solution, si les surfaces données S et T étaient toutes deux développables, puisque les courbes x et y an ïïiP 48S, «levanant alors l'une et l'autre des lignes droites, Mf tous