CHAPITRE y. — 1pIiAn8 TUVGBKTS A PLlISi^UM SURFACES

l^ plans P, F, P'%-..> itne serait plus possible de leur men^r une tangente oomr mune.

430. Lorsque les surfaces S et T ne sont développables ni l'une ni Tautre, on peut rendre déterminé le problème de leur mener un plan tangent commun^ en assignant un point extérieur V par lequel devra passer le plan demandé. En effet, cela reviendra à conduire par ce point V un plan tangent à la surface développable ly qui est circonscrite (n^ 426) aux surfaces S et T, et cette dernière question n'est susceptible que d'un nombre limité de solutions^ comme nous l'avons TU n^ 549 et 350. Pour les obtenir, il faudra généralement construire la seclion faite dans la surface 2 par un plan quelconque mené du point Y, puis tirer par ce point des tangentes à cette section ; alors ciiacune de ces tangentes, jointe à la génératrice rectiliguequi passe par son point de contact, déterminera un plan tangent à la surface ly et, par suite, aux deux surfaces primitives S et T. On trouvera un exemple de ce genre au n° 437.

431 • Trouver un plan qui louche en même temps trois surfaces données S^ T, U.

La marche générale pour résoudre ce problème consiste à imaginer une surface développable 2 circonscrite à S et à T, puis une autre 2a circonscrite à S et à U. Alors, en construisant (n^426) les courbes de contact MM'... et MaM'»... de ces deux surfaces 2 et 2, avec S, chaque point |x, où se rencontreront ces courbes, sera te], que le plan tangent de S touchera. évidemment les surfaces 2 et 2, à la fois, et, par suite, ce plan touchera aussi les surfaces T et U. Ce sera donc une solution du problème; mais comme les opérations graphiques seront ordinairement fort compliquées, nous nous bornerons à en citer un exemple où les constructions deviennent très-simples {yojrci n^ 441 )•

Observons que, quoique nous ayons dit (n^429) qu'on ne pouvait pas généra-^ lement mener un plan tangent commun à deux surfaces développables, la chose devient impossible, parce que les deux surfaces 2 et 2^ oifrent cela de particulier, qu elles sont circonscrites à la même surface S.

432^ Si une ou plusieurs des trois surfaces données étaient développables , le problème serait généralement impossible. En effet, si S est développable, les sur*» faces 2 et 1^ du numéro précédent se réduiront à des surfaces planes (n^4SÎ8), auxquelles il ne sera plus possible de mener un plan tangent commun ; à moins que, par des circonstances toutes particulières, deux de ces surfaces planes ne viennent à coïncider complètement.

433. On ne saurait proposer de trouver un plan qui touche à la fois quatre surfaces S, T, U,y, ou un plus grand nombre. Car, en imaginant les trois surfaces développables 2, 2^, 2,, circonscrites aux groupes S et T, S et U, S et V, il n'arrivera pas, en général, que les trois courbes suivant lesquelles la surface S sera touchée par 2, 2„ 2» viennent se couper toutes en un même pcânt ft^ circimstance