LIVRE V. ^ PLANS TANGENTS DONT LB POINT... N*E8T PAS DONNÉ

qui serait cependant nécessaire pour que le plan langent de S en |x touchât en même temps 2, 2,, 2„ et, par suite, les autres surfaces proposées T, U, V.

PROBLÈME I. Construire un plan qui touche, à la fois, une sphère et un cône de révolution (*).

454. {Fig, 9a.) Faisons passer les deux plans de projection par le centre O de la sphère donnée qui a pour rayon OA, et dirigeons le plan horizontal perpendiculairement à l'axe du cône qui aura pour sommet (S,|S'), et pour base le <:ercie du rayon SB. Le problème de mener un plan tangent commun à ces deux surfeces sera déterminé (n°428), parce qu'ici l'une d'elles est développable ; et, pour le résoudre plus simplement que par la méthode générale, supposons que PQR' soit le plan cherché. Xi touche le cône suivant une arête située dans un plan méridien SM, perpendiculaire à PQ; de sorte que la distance de ce plan tangent au pied (S^ r) de Taxe est une droite égale à TG, et située d^ns le plan méridien SM : mais si je transporte le plan PQR' parallèlement à lui-même, jusqu'à ce qu'il passe par le centre O de la sphère, il se sera rapproché du point (S, I^) d'une quantité égale au rayon OÂ ; et alors il deviendra tangent à un autre cône droit dont la génératrice T'F', parallèle à S'B', en sera éloignée de la distance OA. Or ce dernier cône est. facile à construire» ainsi que son plan tangent conduit par le point O; donc, ensuite^ il suffira de mener au cône primitif un plan tangent parallèle à celui-ci.

D'après ces considérations^ on prendra sur la perpendiculaire TG un intervalle GH = OA; puis, en tirant par le point H la droite T'F' parallèle à S'B', on déterminera, le cercle SF auquel on mènera, du point O, les deux tangentes ON et OL. Alors, en conduisant au cercle SB deux tangentes PQ et XY parallèles aux précédentes, on aura les traces horizontales de deux plans PQR^ et XYZ', qui toucheront extérieurement les deux surfaces données : les traces verticales de ces plans sont bien faciles à trouver.

^55. Il existe aussi des plans qui touchent ces surfaces intérieurement, c'est-àdire en laissant Tune d'un côté, et l'autre du côté opposé. Pour les trouver, on verra sans peine qu'il faut augmenter la distance TG, d'une quantité GA=:^ OÂ; puis, tirer parallèlement à S'B' la droite i'f^ qui déterminera le cercle S/auquel on mènera les tangentes On et O/. Alora, en conduisant au cercle SB deux tangentes pq et xjr parallèles aux précédentes, ce seront les traces horizontales des deux plans tangents intérieurs.

436. Si l'on veut trouver pour un de ces quatre plans, par exemple PQR', son point de contact avec la sphère, on coupera cette surface par un plan OD perpendiculaire à PQ; et, après avoir rabattu la section sur le grand cercle horizontal, on tirera la tangente Dâ dont le point de contact d, ramené en jui, fournira la pro-

(*) Ce problème est tiré de la Géométrie descripthe de H. Lefébare de Fonrcy.