CHAPITRE V. — PLANS TANGENTS A PLUSIEURS SURFACES

jectiou horizontale du point où la sphère est touchée par le plan PQR'. La projection verticale /x' se déduira aisément de là,

PROBLÈME II. Par un point donné, mener un plan tangent à deux sphères.

437. {Fig, 93.) Adoptons pour plan horizontal celui qui passe par les centres O et O' des deux sphères et par le point donné A'\ Alors, sans recourir à un second plan de projection» nous pourrons mener aux deux grands cercles horizontaux la tangente commune MNA, qui, en tournant autour de OO'A, engendrera une surface conique évidemment circonscrite aux deux sphères données. Ce cône AMP est ce que devient ici la surface développable 1 du n^ 426, car il est bien V enveloppe de toutes les positions que prendrait le plan vertical MNA, tangent attx deux sphères, en roulant sur ces deux surfaces à la fois. Ainsi, puisque tout plan tangent à ce cône touchera les deux sphères, et que la réciproque est pareillement vraie, le problème primitif se réduit à mener du point donné k" un plmt tangent au cône AMP. Pour cela, on sait qu'il faut tirer la droite AA", et du point où elle ira percer le plan du cercle vertical MP, base du cône, tirer à ce cercle deux tangentes; opération qui s'effectuera aisément, en rabattant le cercle MP autour de son' diamètre, conmieon Ta vu au n**401.

438. Il est plus simple de remarquer que le problème primitif se réduit à mener par la droite kM' un plan tangent à la sphireO; car ce plan touehefa éVidèmment le cône AMP, et, par suite, la sphère O' que ce cône circonscrit. Or, d'après ce qui a été dit au n°403, il suffît de tracer le nouveau côtié A^M'^P*', circonscrit pareillement à la sphère O, et l'intersection des deux cercles verticaux MP et M'^P*' fera connaître immédiatement la projection horizontale [x du point de contact de la sphère avec le plan tangent demandé. La seconde projection de ce point, sur un plan vertical choisi à volonté, s'obtiendra aisément en rabattant le cercle Ml? autour de son diamètre, et par là la position du plan tangent sera complètement déterminée ; mais nous laisserons au lecteur le soin d'effectuer ces opérations trèssimples, qui conduiront évidemment à deux plans tangents extérieurs.

439. On peut trouver deux autres plans tangents intérieurs, en considérant le cône amp décrit par la tangente man commune aux deux grands cercles horizontaux, mais placée entre ces circonférences. Alors, par des considérations analogues aux précédentes, on verra qu'il suffit de mener par le point A^ un plan tangent au cône amp\ ou bien de mener par la droite a M* un plan tangent à la sphère O; de sorte que le point de contact \ sera donné par l'intersection des deux cercles M^P' et mp.

440. Il n'est pas besoin d'avertir que les quatre solutions précédentes se réduiront à deux, ou n'existeront pas du tout, suivant la position qu'aura le point donné A'' par rapport aux deux sphères, ou par rapport aux cônes circonscrits extérieur et intérieur. En outre, l'un de ces cônes ou tous les deux disparaîtront, si les sphères données se coupent, ou bien si Tune enveloppe l'autre.

igS LIVRE V. --PLANS TANGENTS DONT LE POINT... N'EST PAS DONNÉ.

PROBLÈME III. Trouver un plan qui soit tangent à trois sphères données.

441. (Fry.93.) Adoptons encore pour le plan horizontal celui qui passe par les rentres O, O', O" des trois sphères données; puis, remarquons que les surfaces développables 2 et 2^ (n*^ 4f51 ), qui doivent élre circonscrites aux sphères O et O', O et O", deviennent ici les deux cônes AMP et A'M"P''. Alors, en traçant leurs courbes de contact avec la sphère O, lesquelles se réduisent aux deux cercles verticaux MP et M'T", les deux poinfs de section qui sont projetés en jx, seront ceux où les plans tangents de le sphère O toucheront à la fois le cône AMP et le cône A"M"P" ; par conséquent, ces deux plans seront aussi tangents aux sphères O' et 0', et ils les toucheront extérieurement.

442. Mais comme il existe deux autres cônes circonscrits intérieurement aux groupes des sphères O et O', O et O'", lesquels peuvent être combinés d'une manière analogue, soit entre eux, soit avec les cônes extérieurs, il en résultera généralement huit solutions pour le problème proposé, savoir :

Deux plans tangents extérieurs fournis par les cônes AMP et A^M'^P", et dont les points de contact avec la sphère O sont projetés en jul;

• Deux plans tangents intérieurs fournis par les cônes AMP et a^'m^'p" ; les points de contact avec la sphère O sont projetés en v; ^ Deuxplans tangents m/^r/eur^. fournis par les cônes amp et A''M''P'' ; l«uf^ points de contact sont projetés en X ;

Enfin, deux plans tangents intérieurs fournis par les cônes amp^ a^'m^p"^ et dont les points de contact sont projetés en n.

443. Il est facile d'apercevoir que ces huit plans tangents se réduiront à quatre^ si deux des sphères se coupent : quand une d'elles rencontrera les deux autres, il y aura au plus deux plans tangents coniniuns; et il n'en existera aucun, lorsqu'une des trois sphères sera enveloppée par une autre. Mais, outre ces cas particuliers, la question sera impossible toutes les fois que les quatre cercles de contact MP, M^P", wp, m"p'\ ne se couperont pas; et le nombre de leurs poiats de section indiquera toujours le nombre de solutions qu'admettra le probième proposé.

444. Nous n'avons point parlé des cônes N' A'Q' et n'a!(f dont chacun est circonscrit aux deux sphères O' et 0'\ Néanmoins^ il est évident que tout plan tangent aux trois sphères devra aussi toucher le cône A' ou le cône d\ de sorte que le système de ces deux surfaces coniques aurait pu être combiné, soit avec le sj^stème A et a, soit avec le système A" et a"^ pour résoudre le problème proposé. En outre, puisque chaque plan tangent aux trois sphères touchera en même temps trois des cônes circonscrits, il passera par leurs sommets, lesquels se trouveront ainsi à la fois dans un plan tangent et dans le plan des trois centres des sphères; d'où Ton conclut que les sommets des trois cônes touchés par un même plan seront