CHAPITRE i. — HÉLÏCE, ET HÊLICOIDE DÉVELOPPABLE. ao

égale Tare A(J, il faut bien que le reste &d soit égal à Tare âXnki et de même se est égal à Tare êXtt A. Ainsi la spirale abcdef^ située dans le plan supérieur <Jh!\ viendra se terminer au point (A, A'^), si Ton se borne, comme dans notre épure, à considérer une révolution unique de la génératrice mobile.

458. D'après cela, on peut aisément construire en relief la. surface que nous venons de décrire; car, en prenant deux plateaux sur lesquels on tracera les deux spirales ABCDEF..., afccrfef..., et en les maintenant dans une situation parallèle et symétrique, au moyen de tiges verticales, il suffira de tendre des fils qui i'éunissent les points correspondants A et a, B et 6, G et c, D et e/,...; et l'ensemble de ces fils rectilignes représentera l'hélicoïde développable, dont Varéte de rebroussement (n° 178) sera l'hélice figurée aussi par les intersections consécutives de ces mêmes fils. Si, d'ailleurs, on évide sur le plateau supérieur l'intérieur de la circonférence OA, on apercevra très-sensiblement cette hélice en forme d'arête saillante; ce qui justifiera bien aux yeux du spectateur la dénomination attribuée dans toutes les surfaces développables, à la courbe formée par les intersections des génératrices, laquelle parlage la surface en deux nappes distinctes, mais réunies par ]un r^brous-^ ' sèment le long de cette courbe.

459. {Ficj, 96.) Pour manifester ici cette circonstance importante du reforous- '' sèment, construisons la section faite dans l'hélicoïde par un plan horizontal qiie}-, conque X'Y'. En projetant sur le plan inférieur les points de rencontre de X'Y' . avec les projections verticales des génératrices, on obtiendra une spirale con^posée de deux branches XWX et XZY, placées l'une sur la nappe supérieure formée par tes portions de génératrices situées au-dessus de leurs points de contact avec l'hélice, et l'autre sur la nappe inférieure; et je dis que cette spirale est aussi une développante du cercle OA. En effet, si le plan X'Y' est mené, par exemple, par le milieu X' de la hauteur A' A", il coupera toutes les génératrices en deux parties égales ; de sorte que son point de section avec la droite (Drf, 'lYd') sera tel, que DW égalera la demi-circonférence A(?X. Mais, puisque déjà la partie D^ = A^,' il s'ensuivra que le reste tf W égalera l'arc (^X ; on trouvera de même que AX = A ^X, et p 2 = pX, .'. . Donc la section XWXZY est bien une développante du cercle OA, laquelle a pour origine le point X; et la forme de cette spirale en ce point, manifeste clairement le rebroussement que présentent les deux nappes de la surface, lorsqu'elles s'approchent de Thélice.

460. Voyons, maintenant, quelles seront les sections faites dans l'hélicoïde par un cylindre FWZp, concentrique avec celui qui contient l'hélice primitive. Pour cela, prenons d'abord les points F, a, 0,..., où le cercle ¥WZp coupe les portions inférieures des génératrices sur le plan horizontal, et rapportons ces points sur les . projections verticales des tnémes droites ; ensuite, faisons la même opération pour leé points ^, rj, W,..», où les portions supérieures des génératrices sont rencontrées

ao6 UVRE VI. — QUESTIONS DIVERSES,

par le cylindre proposé, et nous obtiendrons les deux courbes

(FaflZw, TaiQ'Z'tù') et (?>îWÇp, r>5'W'Ç'p'),

situées l'une sur la nappe inférieure de Thélicoïde, Tautre sur la nappe supérieure, et qui seront aussi des hélices de même pas que l'hélice (AêycJ, A'S'y^f'). En efiet, les portions de génératrices ((pF, y'F'), (Xa, X'a'), (rrô, îr'Ô'),..., sont toutes de même longueur, puisqu'elles sont projetées sur des droites évidemment ^ales f F = Xa = Tid, . . . , et que leur inclinaison sur le plan horizontal est constante. Donc, lorsque la droite finie (ç)F, 9'F' ) parcourra l'hélice donnée, en lui demeurant tangente par son extrémité mobile (9, ç'), l'autre extrémité (F, F') s'élèvera de quantités égales aux différences de niveau des points (y, y'), (X, X'), (n, tt'),... ; or ces différences sont proportionnelles aux arcs çX, çXtt,.,., qui ont évidemment entre eux le même rapport que les arcs Fa, FaÔ,...; par conséquent, ces derniers se trouveront eux-mêmes proportionnels aux ordonnées des points (a, a'), (9, 9')j..m ^^ la courbe (Faô, FV6') sera bien une hélice dont le pas égalera celui de l'hélice { Aêy, A'ê'y'), puisqu'au bout d'une révolution, les deux points (F, F') et (ç, f*) auront monté de la même quantité h.

On démontrera la même proposition, d'une manière analogue, pour la section (Ç>3W,gVW').

461. [Fig. 96.) Il est bon d'observer ici, comme une conséquence immédiate de ce qui précède, que quand une droite mobile et indéfinie (Fç>/, F'ç'/^) glisse sur une hélice {kSy^...^ A'6'7'(^), en lui demeurant tangente par un même point qui reste invariable sur la droite mobile, tout autre point (F, F') de cette dernière ligne décrit aussi (n^ 460) une hélice de même pas que la première. Mais si la tangente roulait sur l'hélice, sans glisser, de telle sorte que chaque élément de la droite -vînt s'appliquer successivement sur les éléments dé la courbe, alors un point quelconque (F, F') de la droite mobile resterait toujours dans un même plan horizontal, et y décrirait (n** 455) u«e développante du cercle qui sert de base à l'hélice primitive.

462. Le plan tangent pour un point quelconque (0, 9') de rhélîcoïde est le même que dans tout autre point de la génératrice (P9p, P'0'pO> ^^^^^ fl"^ "O"* Tavons démontré (n** 177) pour toute surface développable : donc le plan demandé renfermera la tangente PV à la spirale ABCLP, et cette droite sera précisément la trace horizontale de ce plan tangent, lequel se trouve par là suffisamment déterminé. Observons, d'ailleurs, que comme la ligne Ptt, tangente à la développée A êX;r, est toujours normale (n^ 197) à la développante ABCLP, il s'ensuit que la trace VP du plan tangent se trouvera perpendiculaire sur la génératrice (Pn, PV), et qu'ainsi ce plan renfermera le rayon (Ott, O't:') du cylindre. D'où l'on peut con* dure que le plan tangent de rhélicoide se trouve déterminé par 1b génératrice sur