CHAPITRE !. — HÉLICE, KT HÉLICOIDB! DÉVELOPPABLE

laquelle est le point donné, et par le rayon du cylindre qui aboutit au point de contact de cette génératrice avec l'arête de rebroussement.

463. Il résulte évidemment de là que tous les plans tangents de Thélicoïde font, avec le plan horizontal, un angle constant qui égale Tinclinaison de la tangente à l'hélice primitive. D'ailleurs, chaque plan langent, tel que ttPV, contenant deux génératrice infiniment voisines qui sont des tangentes à l'hélice, n'est autre chose quç le plan oscuUateur {n^ 177) de cette courbe; et, par suite, Thélicoïde est / enveloppe de tons les plans osculateurs de son arête de rebroussement, comme cela arrive dans toute surface développable (n^ 181).

464. D'après cela, le contour apparent de l'hélicoïde sur le plan vertical de projection est formé par les droites (L/, L7'), (Aa, AV), (AU, A"U'), puisque, le long.de ces génératrices, le plan tangent se trouve perpendiculaire au plan vertical : seulement, une partie des deux dernières génératrices est recouverte par la première, et se trouve rendue invisible par cette circonstance. Quant au contour appa* rentffur le plan horizontal, il est formé évidemment par l'hélice ( A g7(^X, A'S'/(^X'), quoique le long de cette courbe les plans tangents de l'hélicoïde ne soient pas . verticaux, ainsi que l'exigerait la règle générale du n*' 106; diais c'est qu'ici la surface présente, pour limite des parties visibles, la circonstance particulière d'un rebroussement. On doit ajouter à ce contour les spirales ABCGQRS et abclpqrA^ qui terminent la portion de surface que nous nous sommes borné à considérer ici, avec le soin d'omettre la partie de la première qui est recouverte par la seconde ; et, d'après ces remarques, il sera aisé au lecteur de se rendre compte des parties pleines et ponctuées que présente notre épure.

465. Développement de l'hélicoïde. {Fig. 96.) On pourrait l'effectuer ici, comme dans toute surface développable, en partageant une courbe plane ABCDGL, située sur la surface, en petits arcs sensiblement confondus avec leurs cordes; alors les secteurs élémentaires projetés sur Dd^C, Es^D, Fç€E,..,, pourront être regardés comme des triangles dont les côtés, connus par leurs projections , seront faciles à évaluer; de sorte que, si l'on construit ces triangles sur un même plan et à la suite lès uns des autres, leur ensemble représentera le développement de la surface en question. Toutefois, il faut avouer que ce mode d'opérations donnerait lieu à des chances d'erreurs accumulées, qui disparaîtraient si Ton connaissait d'avance la forme que doit prendre, sur le développement, une certaine courbe donnée sur la surface primitive ; et c'est aihsi que nous en avons usé pour les cylindres et les cônes, dans les n"^ 243 et 251.

466. Or, dans l'hélicoïde développable, il arrive que toutes les hélices ont pour iransformées, sur le développement, des cercles concentriques. En effet, si nous concevons l'hélice arête de rebroussement (ASyc^,.., A'S'/t?'...), comme partagée en éléments égaux projetés sur Aê, êy, y^y .' ., ilj^t facile d'apercevoir que tous les angles

ao8 LIVBE VI* — QUESTIONS DIVEBSES.

de contingence sont égaux entre eux dans cette ligne à double courbure; car celui qui est projeté sur DcJC, étant combiné avec la verticale â^ formera un angle trièdre dans lequel deux faces et Tangle dièdre compris resteront les mêmes pour tous les points de l'hélice. Mais ces angles de contingence, qui changent ordinairement de grandeur pour une courbe quelconque tracée sur une surface que Ton développe, demeurent invariables quand il s'agit de l'arête de rebroussement (n® 179, note) : donc l'hélice {ASy&...^ A' & Y &"..,) se transformera dans une courbe plane, dont les angles de contingence seront égaux entre eux , pour des arcs de même longueur ; par conséquent, cette transformée aura une courbe unifornae (n** 198), et dès lors elle sera un cercle.

Maintenant, pour une autre hélice (FaôZw, F'a'ô'Z'd)') située sur le mêmehélicoîde, on obtiendra sa transformée en traçant, sur le développement, des tangentes au cercle dans lequel sera changée l'hélice (ASy.*., A'ê'/ ••)> ®* ^^ prenant ces tangentes égales aux portions de génératrices (9F, ç>T'), (Xa, X'a'), (ttô, tt'ô'),.- Or, comme ces dernières droites ont toutes la même longueur (u? 460), il arrivera évidemment que leurs extrémités aboutiront sur une circonférence concentrique avec la précédente : donc, etc.

467. {Fig. 96.) Pour faire servir cette propriété des hélices au développement de l'hélicoide sur un de ses plans tangents, nous choisirons le plan LL'X' qui est perpendiculaire au plan vertical , et qui renferme les deux droites (LX, Ll')i (tj;a, L'a'), tangentes aux deux hélices projetées sur AêX et FaO* Or, comme ces droites devront se retrouver tangentes aux deux cercles dans lesquels ces hélices se transformeront, il n'y aura qu'à rabattre ce plan autour de LU, avec les deux tangentes en question, qui deviendront évidemment LX'' et vj/a"; puis, élever sur ces dernières lignes les perpendiculaires X"0" et a"0", qui détermineront le centre 0" et les rayons de ces deux transformées circulaires.

Cela posé, sur la JÎ9. 97, et avec un rayon OjXa égal à la droite 0"X" de la/y. 96» je décris une circonférence sur laquelle il faudra marquer des arcs qui aient la même longueur que les arcs d'hélice projetés sur AS, êy, ycJ,.... Or, puisque la demi-spire (A S7X, A'&yV) est égale en longueur (n^ 449) à sa tangente (LX, L'/)» nous tracerons la tangente X^ L^ , égale à X'L', et, après avoir divisé cette droite X,Lj en huit parties égales, nous les reporterons sur la circonférence depuis Xj ]^^ qu'en Aa et A, ; alors l'arc de cercle A2X2A, sera la tratuformée de la spire entière ( AêyXA, A'ê'y'X'A"). Ensuite, nous mènerons les tangentes êaBj, 72Ca, (^»Dï?-» que nous ferons égales à i, a, 3,... des divisions de XjLa, et ce seront les vraies longueurs des génératrices de l'hélicoide, comprises depuis l'arête de rebroussement jusqu'au plan horizontal ; de sorte que la nappe inférieure de cette surface 8e trouvera développée suivant la forme

AaêayaXaA,UaTaLaC.BaA.,