CHAPITRE K — HÉLICE^ ET BÉLIGOIDE DÉVELOPP^LE. 20g
dont le contour extérieur est évidemment la développante du cercle A2X3 Ag, tandis que la circonférence F^ a, ©a ^2 sera la transformée de Vautre hélice (F aôw, F' a' 9' w')« Quant au développement de la nappe supérieure de rhélicoïde^ on l'obtiendrait en prolongeant chaque génératrice F^f,, de manière que sa longueur totale F^f^ égalât le double de L^Xa-
468. Nous aurions pu éviter de recourir à la seconde hélice(Fa6, F'a'0'), pour trouver le rayon OaXj = 0"X'^ du cercle suivant lequel se transforme l'hélice primitive (ASyX, A'ê'7'X'), attendu que ce rayon doit être précisément le rayon de courbure (n° 198) de cette dernière hélice ; car, dans le développement d'une surface développable, on sait (note du n^ 179) que l'arête de rebroussement conserve les mêmes angles de contingence qu'auparavant, ainsi que des arcs de même longueur ; de sorte qu'elle garde la même courbure, mais seulement elle perd sa torsion, comme nous l'expliquerons plus en détail au n^ 654. D'ailleurs, nous verrous au n^676 que le rayon de courbure d'une hélice est donné par la formule
/) = R(i + tang»co) = ^,
où 01 désigne l'angle de la tangente à Thélice avec le plan de la base orthogonale du cylindre^ et R le rayon de cette surface (*). Or cette expression est susceptible
( *) Si l*on veut trouver directement celte formule , on pourra employer le moyen suivant qui m*a été communiqué par M. Catalan^ répétiteur à TÉcole Polytechnique. Soient MP et PQ {^g, 98 ) les projections de deux éléments égaux de l'hélice , correspondants au point ( P, P' ) pour lequel le plan osculateur contient (n^ 465) le rayon du cylindre (PO, F), et projette ces deux éléments sur la droite M'P'Q' qui fait Fangle ta avec la base du cylindre. Si Ton fait tourner ce plan osculateur autour de la droite (PO, P'), jusqu'à ce qu'il devienne horizontal , les deux éléments seront rabattus suivant F m eiVq; puis, en élevant des perpendiculaires sur leurs milieux , le rayon de courbure de rhélice sera représenté par Po» ou |PF. Or on a évidemment
r.p = PF = L i, ^R = PG = 4 L,
d'où Ton déduit, en observant que PM est la projection de la droite P'M'= P//i,
p/P/yiy 1
R""\PMy ""cos'w'
ds On pourrait aussi rattacher cette méthode à la formule générale p = — trouvée au n*" 1889 en
obserraot qu'ici l'angle de contingence c a pour vraie grandeur le supplément de m P ^ ; or on a évidemment
PH
d'où Ton conclut
; = cos(-^-) = sm^ = Xc, et PH=L i = ^;
^/jcos'u R
et qui justifie la constructioD employée dans le texte.
4« édit. 27
aïO LIVBC VL — QDESTI0BI9 DIVBB8E8.
d'une construction fort simple; car, si par le point E' de la fig. 96, et parallèle* ment à la tangente W, on tire la droite ¥JV sur laquelle 00 élèvera la perpendi* culaire l'K^, la comparaison des triangles rectangles conduira aisément à la
relation
E'A' = E'K'cos^«;
d'où il suit que le rayon de courbure de l'hélice est p = E'K'. C'est donc avec cette longueur (qui doit se trouver égale à O^X") qu'il faudra décrire le cercle 0,X, de la fig. 97 ; et ensuite, les autres opérations graphiques s'effectueront comme au second paragraphe du n^467.
